Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{3} \ln (6 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{3} \ln (6 x)$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (6 x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (6 x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \ln (6 x)$ .

$5 (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (6 x)] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $6 x$ .

$5 (x^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x$ .

$5 (x^{3} (\frac{1}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

$\frac{1}{6 x}$ e $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{2}}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Scomponi $x$ da $6 x$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 6} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$5 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 6} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$5 (\frac{x^{2}}{6} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.4.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (\frac{x^{2}}{6} (6 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.4.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

$6$ e $\frac{x^{2}}{6}$ .

$5 (\frac{6 x^{2}}{6} \frac{d}{d x} [x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.4.4.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$5 (\frac{6 x^{2}}{6} \frac{d}{d x} [x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.4.4.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (x^{2} \cdot 1 + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.4.6

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$5 (x^{2} + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.4.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 (x^{2} + \ln (6 x) (3 x^{2}))$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} + 5 (\ln (6 x) (3 x^{2}))$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$5 x^{2} + 15 \ln (6 x) x^{2}$

Passaggio 1.5.3

Riordina i termini.

$f' (x) = 5 x^{2} + 15 x^{2} \ln (6 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} + 15 x^{2} \ln (6 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x^{2} \ln (6 x)$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (6 x)]$ .

$10 x + 15 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (6 x)]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (6 x)$ .

$10 x + 15 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (6 x)] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $6 x$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.4

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{6 x} (6 \cdot 1)) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{6 x} (6 \cdot 1)) + \ln (6 x) (2 x))$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $6$ per $1$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{6 x} \cdot 6) + \ln (6 x) (2 x))$

Passaggio 2.3.8

$\frac{1}{6 x}$ e $6$ .

$10 x + 15 (x^{2} \frac{6}{6 x} + \ln (6 x) (2 x))$

Passaggio 2.3.9

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Elimina il fattore comune.

$10 x + 15 (x^{2} \frac{6}{6 x} + \ln (6 x) (2 x))$

Passaggio 2.3.9.2

Riscrivi l'espressione.

$10 x + 15 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (6 x) (2 x))$

Passaggio 2.3.10

$x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$10 x + 15 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (6 x) (2 x))$

Passaggio 2.3.11

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$10 x + 15 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (6 x) (2 x))$

Passaggio 2.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$10 x + 15 (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (6 x) (2 x))$

Passaggio 2.3.11.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$10 x + 15 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (6 x) (2 x))$

Passaggio 2.3.11.2.3

Elimina il fattore comune.

$10 x + 15 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (6 x) (2 x))$

Passaggio 2.3.11.2.4

Riscrivi l'espressione.

$10 x + 15 (\frac{x}{1} + \ln (6 x) (2 x))$

Passaggio 2.3.11.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$10 x + 15 (x + \ln (6 x) (2 x))$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$10 x + 15 x + 15 (\ln (6 x) (2 x))$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $2$ per $15$ .

$10 x + 15 x + 30 (\ln (6 x) (x))$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $10 x$ e $15 x$ .

$25 x + 30 \ln (6 x) x$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 30 x \ln (6 x) + 25 x$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $30 x \ln (6 x) + 25 x$ .

$30 x \ln (6 x) + 25 x$