Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 81}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 81$ .

$\frac{(x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 81) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 81$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 81) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 81$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81])}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [81])}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $81$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $81$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 81) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.2

Moltiplica $2$ per $81$ .

$\frac{2 x^{3} + 162 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} + 162 x - 2 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{162 x + 0}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.2.2

Somma $162 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$ .

$\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$162 x = 0$

Passaggio 2.3

Dividi per $162$ ciascun termine in $162 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $162$ ciascun termine in $162 x = 0$ .

$\frac{162 x}{162} = \frac{0}{162}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $162$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{162 x}{162} = \frac{0}{162}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{162}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $0$ per $162$ .

$x = 0$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0$ .

$0$

Passaggio 4

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = \frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 81}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = \frac{162 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $162$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{{({(- 1)}^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{{(1 + 81)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $1$ e $81$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{82^{2}}$

Passaggio 5.2.2.3

Eleva $82$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{6724}$

Passaggio 5.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 162$ e $6724$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 162$ .

$f' (- 1) = \frac{2 (- 81)}{6724}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $6724$ .

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 3362}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 3362}$

Passaggio 5.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 1) = \frac{- 81}{3362}$

Passaggio 5.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 1) = - \frac{81}{3362}$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $- \frac{81}{3362}$ .

$- \frac{81}{3362}$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- \frac{81}{3362}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = \frac{162 (1)}{{({(1)}^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $162$ per $1$ .

$f' (1) = \frac{162}{{(1^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = \frac{162}{{(1 + 81)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $1$ e $81$ .

$f' (1) = \frac{162}{82^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $82$ alla potenza di $2$ .

$f' (1) = \frac{162}{6724}$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $162$ e $6724$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Scomponi $2$ da $162$ .

$f' (1) = \frac{2 (81)}{6724}$

Passaggio 6.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $6724$ .

$f' (1) = \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 3362}$

Passaggio 6.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (1) = \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 3362}$

Passaggio 6.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (1) = \frac{81}{3362}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $\frac{81}{3362}$ .

$\frac{81}{3362}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $\frac{81}{3362}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(0, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, 0)$

Passaggio 8