Calcolo Esempi

$f (x) = 6 x^{2} {(14 + x)}^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi ${(14 + x)}^{2}$ come $(14 + x) (14 + x)$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} ((14 + x) (14 + x))]$

Passaggio 1.1.2

Espandi $(14 + x) (14 + x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} (14 (14 + x) + x (14 + x))]$

Passaggio 1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} (14 \cdot 14 + 14 x + x (14 + x))]$

Passaggio 1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} (14 \cdot 14 + 14 x + x \cdot 14 + x \cdot x)]$

Passaggio 1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Moltiplica $14$ per $14$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} (196 + 14 x + x \cdot 14 + x \cdot x)]$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta $14$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} (196 + 14 x + 14 \cdot x + x \cdot x)]$

Passaggio 1.1.3.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} (196 + 14 x + 14 x + x^{2})]$

Passaggio 1.1.3.2

Somma $14 x$ e $14 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} (196 + 28 x + x^{2})]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2} (196 + 28 x + x^{2})$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2} (196 + 28 x + x^{2})]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2} (196 + 28 x + x^{2})]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 196 + 28 x + x^{2}$ .

$6 (x^{2} \frac{d}{d x} [196 + 28 x + x^{2}] + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $196 + 28 x + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [196] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 (x^{2} (\frac{d}{d x} [196] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.6.2

Poiché $196$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $196$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 (x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.6.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [28 x]$ .

$6 (x^{2} (\frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.6.4

Poiché $28$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $28 x$ rispetto a $x$ è $28 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 (x^{2} (28 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.6.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 (x^{2} (28 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.6.6

Moltiplica $28$ per $1$ .

$6 (x^{2} (28 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.6.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (x^{2} (28 + 2 x) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.6.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (x^{2} (28 + 2 x) + (196 + 28 x + x^{2}) (2 x))$

Passaggio 1.1.6.9

Sposta $2$ alla sinistra di $196 + 28 x + x^{2}$ .

$6 (x^{2} (28 + 2 x) + 2 \cdot (196 + 28 x + x^{2}) x)$

Passaggio 1.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 (x^{2} \cdot 28 + x^{2} (2 x) + 2 (196 + 28 x + x^{2}) x)$

Passaggio 1.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 (x^{2} \cdot 28 + x^{2} (2 x) + (2 \cdot 196 + 2 (28 x) + 2 x^{2}) x)$

Passaggio 1.1.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 (x^{2} \cdot 28 + x^{2} (2 x) + 2 \cdot 196 x + 2 (28 x) x + 2 x^{2} x)$

Passaggio 1.1.7.4

Applica la proprietà distributiva.

$6 (x^{2} \cdot 28) + 6 (x^{2} (2 x)) + 6 (2 \cdot 196 x) + 6 (2 (28 x) x) + 6 (2 x^{2} x)$

Passaggio 1.1.7.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.5.1

Sposta $28$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$6 (28 \cdot x^{2}) + 6 (x^{2} (2 x)) + 6 (2 \cdot 196 x) + 6 (2 (28 x) x) + 6 (2 x^{2} x)$

Passaggio 1.1.7.5.2

Moltiplica $28$ per $6$ .

$168 x^{2} + 6 (x^{2} (2 x)) + 6 (2 \cdot 196 x) + 6 (2 (28 x) x) + 6 (2 x^{2} x)$

Passaggio 1.1.7.5.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.5.3.1

Sposta $x$ .

$168 x^{2} + 6 (x \cdot x^{2} \cdot 2) + 6 (2 \cdot 196 x) + 6 (2 (28 x) x) + 6 (2 x^{2} x)$

Passaggio 1.1.7.5.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.5.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$168 x^{2} + 6 (x^{1} x^{2} \cdot 2) + 6 (2 \cdot 196 x) + 6 (2 (28 x) x) + 6 (2 x^{2} x)$

Passaggio 1.1.7.5.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$168 x^{2} + 6 (x^{1 + 2} \cdot 2) + 6 (2 \cdot 196 x) + 6 (2 (28 x) x) + 6 (2 x^{2} x)$

Passaggio 1.1.7.5.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$168 x^{2} + 6 (x^{3} \cdot 2) + 6 (2 \cdot 196 x) + 6 (2 (28 x) x) + 6 (2 x^{2} x)$

Passaggio 1.1.7.5.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$168 x^{2} + 6 (2 \cdot x^{3}) + 6 (2 \cdot 196 x) + 6 (2 (28 x) x) + 6 (2 x^{2} x)$

Passaggio 1.1.7.5.5

Moltiplica $2$ per $6$ .

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 6 (2 \cdot 196 x) + 6 (2 (28 x) x) + 6 (2 x^{2} x)$

Passaggio 1.1.7.5.6

Moltiplica $2$ per $196$ .

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 6 (392 x) + 6 (2 (28 x) x) + 6 (2 x^{2} x)$

Passaggio 1.1.7.5.7

Moltiplica $392$ per $6$ .

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 6 (2 (28 x) x) + 6 (2 x^{2} x)$

Passaggio 1.1.7.5.8

Moltiplica $28$ per $2$ .

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 6 (56 x \cdot x) + 6 (2 x^{2} x)$

Passaggio 1.1.7.5.9

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 6 (56 (x^{1} x)) + 6 (2 x^{2} x)$

Passaggio 1.1.7.5.10

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 6 (56 (x^{1} x^{1})) + 6 (2 x^{2} x)$

Passaggio 1.1.7.5.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 6 (56 x^{1 + 1}) + 6 (2 x^{2} x)$

Passaggio 1.1.7.5.12

Somma $1$ e $1$ .

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 6 (56 x^{2}) + 6 (2 x^{2} x)$

Passaggio 1.1.7.5.13

Moltiplica $56$ per $6$ .

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 336 x^{2} + 6 (2 x^{2} x)$

Passaggio 1.1.7.5.14

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 336 x^{2} + 6 (2 (x^{1} x^{2}))$

Passaggio 1.1.7.5.15

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 336 x^{2} + 6 (2 x^{1 + 2})$

Passaggio 1.1.7.5.16

Somma $1$ e $2$ .

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 336 x^{2} + 6 (2 x^{3})$

Passaggio 1.1.7.5.17

Moltiplica $2$ per $6$ .

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 336 x^{2} + 12 x^{3}$

Passaggio 1.1.7.5.18

Somma $168 x^{2}$ e $336 x^{2}$ .

$504 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 12 x^{3}$

Passaggio 1.1.7.5.19

Somma $12 x^{3}$ e $12 x^{3}$ .

$504 x^{2} + 24 x^{3} + 2352 x$

Passaggio 1.1.7.6

Riordina i termini.

$f' (x) = 24 x^{3} + 504 x^{2} + 2352 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $24 x^{3} + 504 x^{2} + 2352 x$ .

$24 x^{3} + 504 x^{2} + 2352 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $24 x^{3} + 504 x^{2} + 2352 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$24 x^{3} + 504 x^{2} + 2352 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $24 x$ da $24 x^{3} + 504 x^{2} + 2352 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $24 x$ da $24 x^{3}$ .

$24 x (x^{2}) + 504 x^{2} + 2352 x = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $24 x$ da $504 x^{2}$ .

$24 x (x^{2}) + 24 x (21 x) + 2352 x = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $24 x$ da $2352 x$ .

$24 x (x^{2}) + 24 x (21 x) + 24 x (98) = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $24 x$ da $24 x (x^{2}) + 24 x (21 x)$ .

$24 x (x^{2} + 21 x) + 24 x (98) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $24 x$ da $24 x (x^{2} + 21 x) + 24 x (98)$ .

$24 x (x^{2} + 21 x + 98) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} + 21 x + 98$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $98$ e la cui somma è $21$ .

$7, 14$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$24 x ((x + 7) (x + 14)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$24 x (x + 7) (x + 14) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 7 = 0$

$x + 14 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 7$ uguale a $0$ .

$x + 7 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 7$

Passaggio 2.6

Imposta $x + 14$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $x + 14$ uguale a $0$ .

$x + 14 = 0$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $14$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 14$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $24 x (x + 7) (x + 14) = 0$ vera.

$x = 0, - 7, - 14$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, - 7, - 14$ .

$0, - 7, - 14$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 14) \cup (- 14, - 7) \cup (- 7, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 14)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 15$ nell'espressione.

$f' (- 15) = 24 {(- 15)}^{3} + 504 {(- 15)}^{2} + 2352 (- 15)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 15$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 15) = 24 \cdot - 3375 + 504 {(- 15)}^{2} + 2352 (- 15)$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $24$ per $- 3375$ .

$f' (- 15) = - 81000 + 504 {(- 15)}^{2} + 2352 (- 15)$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 15$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 15) = - 81000 + 504 \cdot 225 + 2352 (- 15)$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $504$ per $225$ .

$f' (- 15) = - 81000 + 113400 + 2352 (- 15)$

Passaggio 5.2.1.5

Moltiplica $2352$ per $- 15$ .

$f' (- 15) = - 81000 + 113400 - 35280$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $- 81000$ e $113400$ .

$f' (- 15) = 32400 - 35280$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $35280$ da $32400$ .

$f' (- 15) = - 2880$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 2880$ .

$- 2880$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 15$ la derivata è $- 2880$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 14)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 14)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 14, - 7)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{21}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{21}{2}) = 24 {(- \frac{21}{2})}^{3} + 504 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{21}{2})$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{21}{2}$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 24 ({(- 1)}^{3} {(\frac{21}{2})}^{3}) + 504 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{21}{2})$

Passaggio 6.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{21}{2}$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 24 ({(- 1)}^{3} (\frac{21^{3}}{2^{3}})) + 504 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{21}{2})$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 24 (- \frac{21^{3}}{2^{3}}) + 504 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{21}{2})$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $21$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 24 (- \frac{9261}{2^{3}}) + 504 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{21}{2})$

Passaggio 6.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 24 (- \frac{9261}{8}) + 504 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{21}{2})$

Passaggio 6.2.1.5

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{9261}{8}$ nel numeratore.

$f' (- \frac{21}{2}) = 24 (\frac{- 9261}{8}) + 504 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{21}{2})$

Passaggio 6.2.1.5.2

Scomponi $8$ da $24$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 (3) (\frac{- 9261}{8}) + 504 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{21}{2})$

Passaggio 6.2.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 \cdot (3 (\frac{- 9261}{8})) + 504 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{21}{2})$

Passaggio 6.2.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{21}{2}) = 3 \cdot - 9261 + 504 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{21}{2})$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica $3$ per $- 9261$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 504 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{21}{2})$

Passaggio 6.2.1.7

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{21}{2}$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 504 ({(- 1)}^{2} {(\frac{21}{2})}^{2}) + 2352 (- \frac{21}{2})$

Passaggio 6.2.1.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{21}{2}$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 504 ({(- 1)}^{2} (\frac{21^{2}}{2^{2}})) + 2352 (- \frac{21}{2})$

Passaggio 6.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 504 (1 (\frac{21^{2}}{2^{2}})) + 2352 (- \frac{21}{2})$

Passaggio 6.2.1.9

Moltiplica $\frac{21^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 504 (\frac{21^{2}}{2^{2}}) + 2352 (- \frac{21}{2})$

Passaggio 6.2.1.10

Eleva $21$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 504 (\frac{441}{2^{2}}) + 2352 (- \frac{21}{2})$

Passaggio 6.2.1.11

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 504 (\frac{441}{4}) + 2352 (- \frac{21}{2})$

Passaggio 6.2.1.12

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.12.1

Scomponi $4$ da $504$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 4 (126) (\frac{441}{4}) + 2352 (- \frac{21}{2})$

Passaggio 6.2.1.12.2

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 4 \cdot (126 (\frac{441}{4})) + 2352 (- \frac{21}{2})$

Passaggio 6.2.1.12.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 126 \cdot 441 + 2352 (- \frac{21}{2})$

Passaggio 6.2.1.13

Moltiplica $126$ per $441$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 55566 + 2352 (- \frac{21}{2})$

Passaggio 6.2.1.14

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.14.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{21}{2}$ nel numeratore.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 55566 + 2352 (\frac{- 21}{2})$

Passaggio 6.2.1.14.2

Scomponi $2$ da $2352$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 55566 + 2 (1176) (\frac{- 21}{2})$

Passaggio 6.2.1.14.3

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 55566 + 2 \cdot (1176 (\frac{- 21}{2}))$

Passaggio 6.2.1.14.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 55566 + 1176 \cdot - 21$

Passaggio 6.2.1.15

Moltiplica $1176$ per $- 21$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 55566 - 24696$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $- 27783$ e $55566$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 27783 - 24696$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $24696$ da $27783$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 3087$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $3087$ .

$3087$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - \frac{21}{2}$ la derivata è $3087$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 14, - 7)$ .

Crescente su $(- 14, - 7)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 7, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{7}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{7}{2}) = 24 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 504 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{7}{2})$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 24 ({(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}) + 504 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{7}{2})$

Passaggio 7.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 24 ({(- 1)}^{3} (\frac{7^{3}}{2^{3}})) + 504 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{7}{2})$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 24 (- \frac{7^{3}}{2^{3}}) + 504 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{7}{2})$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 24 (- \frac{343}{2^{3}}) + 504 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{7}{2})$

Passaggio 7.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 24 (- \frac{343}{8}) + 504 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{7}{2})$

Passaggio 7.2.1.5

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{343}{8}$ nel numeratore.

$f' (- \frac{7}{2}) = 24 (\frac{- 343}{8}) + 504 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{7}{2})$

Passaggio 7.2.1.5.2

Scomponi $8$ da $24$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 (3) (\frac{- 343}{8}) + 504 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{7}{2})$

Passaggio 7.2.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 \cdot (3 (\frac{- 343}{8})) + 504 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{7}{2})$

Passaggio 7.2.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{7}{2}) = 3 \cdot - 343 + 504 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{7}{2})$

Passaggio 7.2.1.6

Moltiplica $3$ per $- 343$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 504 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{7}{2})$

Passaggio 7.2.1.7

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 504 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 2352 (- \frac{7}{2})$

Passaggio 7.2.1.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 504 ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 2352 (- \frac{7}{2})$

Passaggio 7.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 504 (1 (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 2352 (- \frac{7}{2})$

Passaggio 7.2.1.9

Moltiplica $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 504 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + 2352 (- \frac{7}{2})$

Passaggio 7.2.1.10

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 504 (\frac{49}{2^{2}}) + 2352 (- \frac{7}{2})$

Passaggio 7.2.1.11

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 504 (\frac{49}{4}) + 2352 (- \frac{7}{2})$

Passaggio 7.2.1.12

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.12.1

Scomponi $4$ da $504$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 4 (126) (\frac{49}{4}) + 2352 (- \frac{7}{2})$

Passaggio 7.2.1.12.2

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 4 \cdot (126 (\frac{49}{4})) + 2352 (- \frac{7}{2})$

Passaggio 7.2.1.12.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 126 \cdot 49 + 2352 (- \frac{7}{2})$

Passaggio 7.2.1.13

Moltiplica $126$ per $49$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 6174 + 2352 (- \frac{7}{2})$

Passaggio 7.2.1.14

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.14.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{7}{2}$ nel numeratore.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 6174 + 2352 (\frac{- 7}{2})$

Passaggio 7.2.1.14.2

Scomponi $2$ da $2352$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 6174 + 2 (1176) (\frac{- 7}{2})$

Passaggio 7.2.1.14.3

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 6174 + 2 \cdot (1176 (\frac{- 7}{2}))$

Passaggio 7.2.1.14.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 6174 + 1176 \cdot - 7$

Passaggio 7.2.1.15

Moltiplica $1176$ per $- 7$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 6174 - 8232$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Somma $- 1029$ e $6174$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 5145 - 8232$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $8232$ da $5145$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 3087$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 3087$ .

$- 3087$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - \frac{7}{2}$ la derivata è $- 3087$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 7, 0)$ .

Decrescente su $(- 7, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 24 {(1)}^{3} + 504 {(1)}^{2} + 2352 (1)$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 504 {(1)}^{2} + 2352 (1)$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $24$ per $1$ .

$f' (1) = 24 + 504 {(1)}^{2} + 2352 (1)$

Passaggio 8.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 24 + 504 \cdot 1 + 2352 (1)$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $504$ per $1$ .

$f' (1) = 24 + 504 + 2352 (1)$

Passaggio 8.2.1.5

Moltiplica $2352$ per $1$ .

$f' (1) = 24 + 504 + 2352$

Passaggio 8.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Somma $24$ e $504$ .

$f' (1) = 528 + 2352$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $528$ e $2352$ .

$f' (1) = 2880$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $2880$ .

$2880$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $2880$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 14, - 7), (0, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - 14), (- 7, 0)$

Passaggio 10