Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{1 - x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\frac{1}{1 - x}$ come ${(1 - x)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{- 1}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica.

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Passaggio 1.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 {(1 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.5.2

Moltiplica ${(1 - x)}^{- 2}$ per $1$ .

${(1 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(1 - x)}^{- 2} \cdot 1$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica ${(1 - x)}^{- 2}$ per $1$ .

${(1 - x)}^{- 2}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1.1

Riscrivi $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ come ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = - x + 1$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- x + 1]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x + 1$ .

$- 2 {(- x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1]$

Passaggio 2.3

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 {(- x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 {(- x + 1)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + 0)$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.6.1

Somma $- 1$ e $0$ .

$- 2 {(- x + 1)}^{- 3} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 {(- x + 1)}^{- 3}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.4.2

$2$ e $\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(- x + 1)}^{3}}$