Calcolo Esempi

$y = 4 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \cos (x) \sin (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$4 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 1.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 1.4

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 1.5

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 1.7

Somma $1$ e $1$ .

$4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 1.8

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 1.9

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))$

Passaggio 1.10

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))$

Passaggio 1.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Passaggio 1.12

Somma $1$ e $1$ .

$4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Passaggio 1.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 \cos^{2} (x) + 4 (- \sin^{2} (x))$

Passaggio 1.13.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f' (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \cos^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (x)$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (x)$ .

$4 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

Passaggio 2.2.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$4 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 \sin^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 4 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sin (x)$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 4 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 4 (2 \sin (x) \cos (x))$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 2.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riordina i fattori di $- 8 \sin (x) \cos (x)$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 8 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $8 \cos (x) \sin (x)$ da $- 8 \cos (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 16 \cos (x) \sin (x)$