Calcolo Esempi

$\frac{a x + b}{a x - b}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = a x + b$ e $g (x) = a x - b$ .

$\frac{(a x - b) \frac{d}{d x} [a x + b] - (a x + b) \frac{d}{d x} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $a x + b$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{(a x - b) (\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [a x]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a x$ rispetto a $x$ è $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(a x - b) (a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(a x - b) (a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $a$ per $1$ .

$\frac{(a x - b) (a + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $b$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $b$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(a x - b) (a + 0) - (a x + b) \frac{d}{d x} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Somma $a$ e $0$ .

$\frac{(a x - b) a - (a x + b) \frac{d}{d x} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $a x - b$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$\frac{(a x - b) a - (a x + b) (\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- b])}{{(a x - b)}^{2}}$

Passaggio 5

Calcola $\frac{d}{d x} [a x]$ .

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Passaggio 5.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a x$ rispetto a $x$ è $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(a x - b) a - (a x + b) (a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b])}{{(a x - b)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(a x - b) a - (a x + b) (a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- b])}{{(a x - b)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $a$ per $1$ .

$\frac{(a x - b) a - (a x + b) (a + \frac{d}{d x} [- b])}{{(a x - b)}^{2}}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 6.1

Poiché $- b$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- b$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(a x - b) a - (a x + b) (a + 0)}{{(a x - b)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Somma $a$ e $0$ .

$\frac{(a x - b) a - (a x + b) a}{{(a x - b)}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{a x a - b a - (a x + b) a}{{(a x - b)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{a x a - b a + (- (a x) - b) a}{{(a x - b)}^{2}}$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{a x a - b a - (a x) a - b a}{{(a x - b)}^{2}}$

Passaggio 7.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.4.1

Combina i termini opposti in $a x a - b a - (a x) a - b a$ .

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Passaggio 7.4.1.1

Sottrai $(a x) a$ da $a x a$ .

$\frac{- b a + 0 - b a}{{(a x - b)}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.2

Somma $- b a$ e $0$ .

$\frac{- b a - b a}{{(a x - b)}^{2}}$

Passaggio 7.4.2

Sottrai $b a$ da $- b a$ .

$\frac{- 2 b a}{{(a x - b)}^{2}}$

Passaggio 7.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 b a}{{(a x - b)}^{2}}$