Calcolo Esempi

$f (x) = {(x + 2)}^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ e $g (x) = x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 2$ .

$\frac{4}{3} {(x + 2)}^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} {(x + 2)}^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.1.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} {(x + 2)}^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{3} {(x + 2)}^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{4}{3} {(x + 2)}^{\frac{4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.1.5.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{4}{3} {(x + 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.1.6

$\frac{4}{3}$ e ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.1.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{4 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 1.1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}{3} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 1.1.9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}{3} (1 + 0)$

Passaggio 1.1.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{4 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}{3} \cdot 1$

Passaggio 1.1.10.2

Moltiplica $\frac{4 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{4 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{4 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{4 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{4 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}} = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}} = 0$ .

$\frac{4 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.3.1.2.2

Dividi ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} = 0$

Passaggio 2.3.2

Poni $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.3.3

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi ${(x + 2)}^{\frac{4}{3}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

${((- 2) + 2)}^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$0^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{4}{3})}$

Passaggio 4.1.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$0^{3 (\frac{4}{3})}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$0^{4}$

Passaggio 4.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(- 2, 0)$

Passaggio 5