Calcolo Esempi

$\sin (\frac{x}{2})$

Passaggio 1

Scrivi $\sin (\frac{x}{2})$ come funzione.

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 2.1.1.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 2.1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.1.2.2

$\frac{1}{2}$ e $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Passaggio 2.1.1.2.4

Moltiplica $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Passaggio 2.1.2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Passaggio 2.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Passaggio 2.1.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 2.1.2.3.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.3.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.2.3.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Passaggio 2.1.2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

Passaggio 2.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

Passaggio 2.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Passaggio 2.2.3.3

Poni il numeratore uguale a zero.

$x = 0$

Passaggio 2.2.3.4

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$\frac{x}{2} = π - 0$

Passaggio 2.2.3.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Passaggio 2.2.3.5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Passaggio 2.2.3.5.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 (π - 0)$

Passaggio 2.2.3.5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.2.2.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 2.2.3.6

Trova il periodo di $\sin (\frac{x}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.2.3.6.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Passaggio 2.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.2.3.6.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 2$

Passaggio 2.2.3.6.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 π$

Passaggio 2.2.3.7

Il periodo della funzione $\sin (\frac{x}{2})$ è $4 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $4 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.2.4

Consolida le risposte.

$x = 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{2})}{4}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 (0)}{2})}{4}$

Passaggio 5.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

Passaggio 5.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

Passaggio 5.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{1})}{4}$

Passaggio 5.2.1.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$f'' (0) = - \frac{\sin (0)}{4}$

Passaggio 5.2.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0}{4}$

Passaggio 5.2.3

Dividi $0$ per $4$ .

$f'' (0) = - 0$

Passaggio 5.2.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f'' (0) = 0$

Passaggio 5.2.5

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, \infty)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6