Calcolo Esempi

$3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$

Passaggio 1

Scrivi $3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$ come funzione.

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 16$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 2.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x^{2}$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 24 (2 x)$

Passaggio 2.1.4.3

Moltiplica $2$ per $24$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $12 x$ da $12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $12 x$ da $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 48 x^{2} + 48 x = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $12 x$ da $- 48 x^{2}$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 4 x) + 48 x = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi $12 x$ da $48 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 4 x) + 12 x (4) = 0$

Passaggio 3.2.1.4

Scomponi $12 x$ da $12 x (x^{2}) + 12 x (- 4 x)$ .

$12 x (x^{2} - 4 x) + 12 x (4) = 0$

Passaggio 3.2.1.5

Scomponi $12 x$ da $12 x (x^{2} - 4 x) + 12 x (4)$ .

$12 x (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$12 x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$12 x {(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi ${(x - 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.5.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 x {(x - 2)}^{2} = 0$ vera.

$x = 0, 2$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, 2$ .

$0, 2$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = 12 {(- 1)}^{3} - 48 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = 12 \cdot - 1 - 48 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1)$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1)$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 \cdot 1 + 48 (- 1)$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 48$ per $1$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 + 48 (- 1)$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $48$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 - 48$

Passaggio 6.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $48$ da $- 12$ .

$f' (- 1) = - 60 - 48$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $48$ da $- 60$ .

$f' (- 1) = - 108$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 108$ .

$- 108$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- 108$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 12 {(1)}^{3} - 48 {(1)}^{2} + 48 (1)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 12 \cdot 1 - 48 {(1)}^{2} + 48 (1)$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f' (1) = 12 - 48 {(1)}^{2} + 48 (1)$

Passaggio 7.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 12 - 48 \cdot 1 + 48 (1)$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $- 48$ per $1$ .

$f' (1) = 12 - 48 + 48 (1)$

Passaggio 7.2.1.5

Moltiplica $48$ per $1$ .

$f' (1) = 12 - 48 + 48$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $48$ da $12$ .

$f' (1) = - 36 + 48$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 36$ e $48$ .

$f' (1) = 12$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $12$ .

$12$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $12$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, 2)$ .

Crescente su $(0, 2)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = 12 {(3)}^{3} - 48 {(3)}^{2} + 48 (3)$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f' (3) = 12 \cdot 27 - 48 {(3)}^{2} + 48 (3)$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $12$ per $27$ .

$f' (3) = 324 - 48 {(3)}^{2} + 48 (3)$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (3) = 324 - 48 \cdot 9 + 48 (3)$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $- 48$ per $9$ .

$f' (3) = 324 - 432 + 48 (3)$

Passaggio 8.2.1.5

Moltiplica $48$ per $3$ .

$f' (3) = 324 - 432 + 144$

Passaggio 8.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Sottrai $432$ da $324$ .

$f' (3) = - 108 + 144$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $- 108$ e $144$ .

$f' (3) = 36$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $36$ .

$36$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $36$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(2, \infty)$ .

Crescente su $(2, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(0, 2), (2, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, 0)$

Passaggio 10