Calcolo Esempi

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{5} x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.2.3

$5$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.2.4

$\frac{5}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.2.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.2.5.2

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $\frac{7}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{7}{2} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.3.3

$4$ e $\frac{7}{2}$ .

$x^{4} + \frac{4 \cdot 7}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.3.4

Moltiplica $4$ per $7$ .

$x^{4} + \frac{28}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.3.5

$\frac{28}{2}$ e $x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{28 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.3.6

Elimina il fattore comune di $28$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.1

Scomponi $2$ da $28 x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{4} + \frac{14 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.3.6.2.4

Dividi $14 x^{3}$ per $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $\frac{71}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{71}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.4.3

$3$ e $\frac{71}{3}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 \cdot 71}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.4.4

Moltiplica $3$ per $71$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.4.5

$\frac{213}{3}$ e $x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.4.6

Elimina il fattore comune di $213$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.6.1

Scomponi $3$ da $213 x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.4.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.4.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.4.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.4.6.2.4

Dividi $71 x^{2}$ per $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [77 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Poiché $77$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $77 x^{2}$ rispetto a $x$ è $77 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.5.3

Moltiplica $2$ per $77$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + \frac{d}{d x} [120 x]$

Passaggio 2.1.6

Calcola $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Poiché $120$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $120 x$ rispetto a $x$ è $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \cdot 1$

Passaggio 2.1.6.3

Moltiplica $120$ per $1$ .

$f' (x) = x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

$q = \pm 1$

Passaggio 3.2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

Passaggio 3.2.1.3

Sostituisci $- 2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1

Sostituisci $- 2$ nel polinomio.

${(- 2)}^{4} + 14 {(- 2)}^{3} + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Passaggio 3.2.1.3.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$16 + 14 {(- 2)}^{3} + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Passaggio 3.2.1.3.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$16 + 14 \cdot - 8 + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Passaggio 3.2.1.3.4

Moltiplica $14$ per $- 8$ .

$16 - 112 + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Passaggio 3.2.1.3.5

Sottrai $112$ da $16$ .

$- 96 + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Passaggio 3.2.1.3.6

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- 96 + 71 \cdot 4 + 154 \cdot - 2 + 120$

Passaggio 3.2.1.3.7

Moltiplica $71$ per $4$ .

$- 96 + 284 + 154 \cdot - 2 + 120$

Passaggio 3.2.1.3.8

Somma $- 96$ e $284$ .

$188 + 154 \cdot - 2 + 120$

Passaggio 3.2.1.3.9

Moltiplica $154$ per $- 2$ .

$188 - 308 + 120$

Passaggio 3.2.1.3.10

Sottrai $308$ da $188$ .

$- 120 + 120$

Passaggio 3.2.1.3.11

Somma $- 120$ e $120$ .

$0$

Passaggio 3.2.1.4

Poiché $- 2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120}{x + 2}$

Passaggio 3.2.1.5

Dividi $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ per $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

Passaggio 3.2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

Passaggio 3.2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Passaggio 3.2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{4} + 2 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Passaggio 3.2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

Passaggio 3.2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

Passaggio 3.2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $12 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

Passaggio 3.2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

Passaggio 3.2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $12 x^{3} + 24 x^{2}$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

Passaggio 3.2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

Passaggio 3.2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

Passaggio 3.2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $47 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

Passaggio 3.2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

Passaggio 3.2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $47 x^{2} + 94 x$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

Passaggio 3.2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

Passaggio 3.2.1.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

Passaggio 3.2.1.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $60 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

Passaggio 3.2.1.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

$60 x$

$120$

Passaggio 3.2.1.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $60 x + 120$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

$60 x$

$120$

Passaggio 3.2.1.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

$60 x$

$120$

$0$

Passaggio 3.2.1.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$

Passaggio 3.2.1.6

Scrivi $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ come insieme di fattori.

$(x + 2) (x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60) = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1$

Passaggio 3.2.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci $- 3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 3$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.3.1

Sostituisci $- 3$ nel polinomio.

${(- 3)}^{3} + 12 {(- 3)}^{2} + 47 \cdot - 3 + 60$

Passaggio 3.2.2.3.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$- 27 + 12 {(- 3)}^{2} + 47 \cdot - 3 + 60$

Passaggio 3.2.2.3.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$- 27 + 12 \cdot 9 + 47 \cdot - 3 + 60$

Passaggio 3.2.2.3.4

Moltiplica $12$ per $9$ .

$- 27 + 108 + 47 \cdot - 3 + 60$

Passaggio 3.2.2.3.5

Somma $- 27$ e $108$ .

$81 + 47 \cdot - 3 + 60$

Passaggio 3.2.2.3.6

Moltiplica $47$ per $- 3$ .

$81 - 141 + 60$

Passaggio 3.2.2.3.7

Sottrai $141$ da $81$ .

$- 60 + 60$

Passaggio 3.2.2.3.8

Somma $- 60$ e $60$ .

$0$

Passaggio 3.2.2.4

Poiché $- 3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60}{x + 3}$

Passaggio 3.2.2.5

Dividi $x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$ per $x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

Passaggio 3.2.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$

Passaggio 3.2.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Passaggio 3.2.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 3.2.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

Passaggio 3.2.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$

Passaggio 3.2.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $9 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$

Passaggio 3.2.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$27 x$

Passaggio 3.2.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $9 x^{2} + 27 x$

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$

Passaggio 3.2.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$

Passaggio 3.2.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$

Passaggio 3.2.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $20 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$

Passaggio 3.2.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$
							+	$20 x$	+	$60$

Passaggio 3.2.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $20 x + 60$

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$
							-	$20 x$	-	$60$

Passaggio 3.2.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$
							-	$20 x$	-	$60$
										$0$

Passaggio 3.2.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 9 x + 20$

Passaggio 3.2.2.6

Scrivi $x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$ come insieme di fattori.

$(x + 2) ((x + 3) (x^{2} + 9 x + 20)) = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $x^{2} + 9 x + 20$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Scomponi $x^{2} + 9 x + 20$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Scomponi $x^{2} + 9 x + 20$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $20$ e la cui somma è $9$ .

$4, 5$

Passaggio 3.2.3.1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x + 2) ((x + 3) ((x + 4) (x + 5))) = 0$

Passaggio 3.2.3.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 2) ((x + 3) (x + 4) (x + 5)) = 0$

Passaggio 3.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 3.5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 3.6

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 3.7

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 3.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) = 0$ vera.

$x = - 2, - 3, - 4, - 5$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $- 2, - 3, - 4, - 5$ .

$- 2, - 3, - 4, - 5$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, - 4) \cup (- 4, - 3) \cup (- 3, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 5)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f' (- 6) = {(- 6)}^{4} + 14 {(- 6)}^{3} + 71 {(- 6)}^{2} + 154 (- 6) + 120$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 6) = 1296 + 14 {(- 6)}^{3} + 71 {(- 6)}^{2} + 154 (- 6) + 120$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 6$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 6) = 1296 + 14 \cdot - 216 + 71 {(- 6)}^{2} + 154 (- 6) + 120$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $14$ per $- 216$ .

$f' (- 6) = 1296 - 3024 + 71 {(- 6)}^{2} + 154 (- 6) + 120$

Passaggio 6.2.1.4

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 6) = 1296 - 3024 + 71 \cdot 36 + 154 (- 6) + 120$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $71$ per $36$ .

$f' (- 6) = 1296 - 3024 + 2556 + 154 (- 6) + 120$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica $154$ per $- 6$ .

$f' (- 6) = 1296 - 3024 + 2556 - 924 + 120$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $3024$ da $1296$ .

$f' (- 6) = - 1728 + 2556 - 924 + 120$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 1728$ e $2556$ .

$f' (- 6) = 828 - 924 + 120$

Passaggio 6.2.2.3

Sottrai $924$ da $828$ .

$f' (- 6) = - 96 + 120$

Passaggio 6.2.2.4

Somma $- 96$ e $120$ .

$f' (- 6) = 24$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $24$ .

$24$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 6$ la derivata è $24$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 5)$ .

Crescente su $(- \infty, - 5)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 5, - 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{9}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{9}{2}) = {(- \frac{9}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{9}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{9^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = 1 (\frac{9^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $\frac{9^{4}}{2^{4}}$ per $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{9^{4}}{2^{4}} + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.4

Eleva $9$ alla potenza di $4$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{2^{4}} + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.6

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.6.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} {(\frac{9}{2})}^{3}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.6.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} (\frac{9^{3}}{2^{3}})) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 (- \frac{9^{3}}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.8

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 (- \frac{729}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.9

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 (- \frac{729}{8}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.10.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{729}{8}$ nel numeratore.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 (\frac{- 729}{8}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.10.2

Scomponi $2$ da $14$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 2 (7) (\frac{- 729}{8}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.10.3

Scomponi $2$ da $8$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 729}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.10.4

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 729}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.10.5

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 7 (\frac{- 729}{4}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.11

$7$ e $\frac{- 729}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + \frac{7 \cdot - 729}{4} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.12

Moltiplica $7$ per $- 729$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + \frac{- 5103}{4} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.14

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.14.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2}) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.14.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.15

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 (1 (\frac{9^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.16

Moltiplica $\frac{9^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 (\frac{9^{2}}{2^{2}}) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.17

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 (\frac{81}{2^{2}}) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.18

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 (\frac{81}{4}) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.19

Moltiplica $71 (\frac{81}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.19.1

$71$ e $\frac{81}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{71 \cdot 81}{4} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.19.2

Moltiplica $71$ per $81$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.20

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.20.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{9}{2}$ nel numeratore.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} + 154 (\frac{- 9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.20.2

Scomponi $2$ da $154$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} + 2 (77) (\frac{- 9}{2}) + 120$

Passaggio 7.2.1.20.3

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} + 2 \cdot (77 (\frac{- 9}{2})) + 120$

Passaggio 7.2.1.20.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} + 77 \cdot - 9 + 120$

Passaggio 7.2.1.21

Moltiplica $77$ per $- 9$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} - 693 + 120$

Passaggio 7.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- \frac{9}{2}) = - 693 + 120 + \frac{6561}{16} + \frac{- 5103 + 5751}{4}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 5103$ e $5751$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - 693 + 120 + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

Passaggio 7.2.3

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Scrivi $- 693$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693}{1} + 120 + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $\frac{- 693}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693}{1} \cdot \frac{16}{16} + 120 + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

Passaggio 7.2.3.3

Moltiplica $\frac{- 693}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + 120 + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

Passaggio 7.2.3.4

Scrivi $120$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

Passaggio 7.2.3.5

Moltiplica $\frac{120}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

Passaggio 7.2.3.6

Moltiplica $\frac{120}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

Passaggio 7.2.3.7

Moltiplica $\frac{648}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 7.2.3.8

Moltiplica $\frac{648}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{6561}{16} + \frac{648 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Passaggio 7.2.3.9

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{6561}{16} + \frac{648 \cdot 4}{16}$

Passaggio 7.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16 + 120 \cdot 16 + 6561 + 648 \cdot 4}{16}$

Passaggio 7.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Moltiplica $- 693$ per $16$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 11088 + 120 \cdot 16 + 6561 + 648 \cdot 4}{16}$

Passaggio 7.2.5.2

Moltiplica $120$ per $16$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 11088 + 1920 + 6561 + 648 \cdot 4}{16}$

Passaggio 7.2.5.3

Moltiplica $648$ per $4$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 11088 + 1920 + 6561 + 2592}{16}$

Passaggio 7.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.1

Somma $- 11088$ e $1920$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 9168 + 6561 + 2592}{16}$

Passaggio 7.2.6.2

Somma $- 9168$ e $6561$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 2607 + 2592}{16}$

Passaggio 7.2.6.3

Somma $- 2607$ e $2592$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 15}{16}$

Passaggio 7.2.6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{15}{16}$

Passaggio 7.2.7

La risposta finale è $- \frac{15}{16}$ .

$- \frac{15}{16}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - \frac{9}{2}$ la derivata è $- \frac{15}{16}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 5, - 4)$ .

Decrescente su $(- 5, - 4)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 4, - 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{7}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{7}{2}) = {(- \frac{7}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{7}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{7^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 1 (\frac{7^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $\frac{7^{4}}{2^{4}}$ per $1$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{7^{4}}{2^{4}} + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.4

Eleva $7$ alla potenza di $4$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{2^{4}} + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.6

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.6.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.6.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} (\frac{7^{3}}{2^{3}})) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 (- \frac{7^{3}}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.8

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 (- \frac{343}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.9

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 (- \frac{343}{8}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.10.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{343}{8}$ nel numeratore.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 (\frac{- 343}{8}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.10.2

Scomponi $2$ da $14$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 2 (7) (\frac{- 343}{8}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.10.3

Scomponi $2$ da $8$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 343}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.10.4

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 343}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.10.5

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 7 (\frac{- 343}{4}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.11

$7$ e $\frac{- 343}{4}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + \frac{7 \cdot - 343}{4} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.12

Moltiplica $7$ per $- 343$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + \frac{- 2401}{4} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.14

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.14.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.14.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.15

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 (1 (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.16

Moltiplica $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.17

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 (\frac{49}{2^{2}}) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.18

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 (\frac{49}{4}) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.19

Moltiplica $71 (\frac{49}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.19.1

$71$ e $\frac{49}{4}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{71 \cdot 49}{4} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.19.2

Moltiplica $71$ per $49$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.20

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.20.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{7}{2}$ nel numeratore.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} + 154 (\frac{- 7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.20.2

Scomponi $2$ da $154$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} + 2 (77) (\frac{- 7}{2}) + 120$

Passaggio 8.2.1.20.3

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} + 2 \cdot (77 (\frac{- 7}{2})) + 120$

Passaggio 8.2.1.20.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} + 77 \cdot - 7 + 120$

Passaggio 8.2.1.21

Moltiplica $77$ per $- 7$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} - 539 + 120$

Passaggio 8.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 539 + 120 + \frac{2401}{16} + \frac{- 2401 + 3479}{4}$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $- 2401$ e $3479$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 539 + 120 + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

Passaggio 8.2.3

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Scrivi $- 539$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539}{1} + 120 + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

Passaggio 8.2.3.2

Moltiplica $\frac{- 539}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539}{1} \cdot \frac{16}{16} + 120 + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

Passaggio 8.2.3.3

Moltiplica $\frac{- 539}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + 120 + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

Passaggio 8.2.3.4

Scrivi $120$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

Passaggio 8.2.3.5

Moltiplica $\frac{120}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

Passaggio 8.2.3.6

Moltiplica $\frac{120}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

Passaggio 8.2.3.7

Moltiplica $\frac{1078}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 8.2.3.8

Moltiplica $\frac{1078}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{2401}{16} + \frac{1078 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Passaggio 8.2.3.9

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{2401}{16} + \frac{1078 \cdot 4}{16}$

Passaggio 8.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16 + 120 \cdot 16 + 2401 + 1078 \cdot 4}{16}$

Passaggio 8.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.1

Moltiplica $- 539$ per $16$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 8624 + 120 \cdot 16 + 2401 + 1078 \cdot 4}{16}$

Passaggio 8.2.5.2

Moltiplica $120$ per $16$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 8624 + 1920 + 2401 + 1078 \cdot 4}{16}$

Passaggio 8.2.5.3

Moltiplica $1078$ per $4$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 8624 + 1920 + 2401 + 4312}{16}$

Passaggio 8.2.6

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.6.1

Somma $- 8624$ e $1920$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 6704 + 2401 + 4312}{16}$

Passaggio 8.2.6.2

Somma $- 6704$ e $2401$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 4303 + 4312}{16}$

Passaggio 8.2.6.3

Somma $- 4303$ e $4312$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{9}{16}$

Passaggio 8.2.7

La risposta finale è $\frac{9}{16}$ .

$\frac{9}{16}$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = - \frac{7}{2}$ la derivata è $\frac{9}{16}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 4, - 3)$ .

Crescente su $(- 4, - 3)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 3, - 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{5}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{5}{2}) = {(- \frac{5}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{5}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{5^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = 1 (\frac{5^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.3

Moltiplica $\frac{5^{4}}{2^{4}}$ per $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{5^{4}}{2^{4}} + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.4

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{2^{4}} + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.6

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.6.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} {(\frac{5}{2})}^{3}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.6.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} (\frac{5^{3}}{2^{3}})) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 (- \frac{5^{3}}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.8

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 (- \frac{125}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.9

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 (- \frac{125}{8}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.10.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{125}{8}$ nel numeratore.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 (\frac{- 125}{8}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.10.2

Scomponi $2$ da $14$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 2 (7) (\frac{- 125}{8}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.10.3

Scomponi $2$ da $8$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 125}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.10.4

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 125}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.10.5

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 7 (\frac{- 125}{4}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.11

$7$ e $\frac{- 125}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + \frac{7 \cdot - 125}{4} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.12

Moltiplica $7$ per $- 125$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + \frac{- 875}{4} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.14

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.14.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.14.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.15

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 (1 (\frac{5^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.16

Moltiplica $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 (\frac{5^{2}}{2^{2}}) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.17

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 (\frac{25}{2^{2}}) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.18

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 (\frac{25}{4}) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.19

Moltiplica $71 (\frac{25}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.19.1

$71$ e $\frac{25}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{71 \cdot 25}{4} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.19.2

Moltiplica $71$ per $25$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.20

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.20.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5}{2}$ nel numeratore.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} + 154 (\frac{- 5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.20.2

Scomponi $2$ da $154$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} + 2 (77) (\frac{- 5}{2}) + 120$

Passaggio 9.2.1.20.3

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} + 2 \cdot (77 (\frac{- 5}{2})) + 120$

Passaggio 9.2.1.20.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} + 77 \cdot - 5 + 120$

Passaggio 9.2.1.21

Moltiplica $77$ per $- 5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} - 385 + 120$

Passaggio 9.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- \frac{5}{2}) = - 385 + 120 + \frac{625}{16} + \frac{- 875 + 1775}{4}$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $- 875$ e $1775$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - 385 + 120 + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

Passaggio 9.2.3

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Scrivi $- 385$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385}{1} + 120 + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

Passaggio 9.2.3.2

Moltiplica $\frac{- 385}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385}{1} \cdot \frac{16}{16} + 120 + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

Passaggio 9.2.3.3

Moltiplica $\frac{- 385}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + 120 + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

Passaggio 9.2.3.4

Scrivi $120$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

Passaggio 9.2.3.5

Moltiplica $\frac{120}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

Passaggio 9.2.3.6

Moltiplica $\frac{120}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

Passaggio 9.2.3.7

Moltiplica $\frac{900}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{625}{16} + \frac{900}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 9.2.3.8

Moltiplica $\frac{900}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{625}{16} + \frac{900 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Passaggio 9.2.3.9

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{625}{16} + \frac{900 \cdot 4}{16}$

Passaggio 9.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16 + 120 \cdot 16 + 625 + 900 \cdot 4}{16}$

Passaggio 9.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.5.1

Moltiplica $- 385$ per $16$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 6160 + 120 \cdot 16 + 625 + 900 \cdot 4}{16}$

Passaggio 9.2.5.2

Moltiplica $120$ per $16$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 6160 + 1920 + 625 + 900 \cdot 4}{16}$

Passaggio 9.2.5.3

Moltiplica $900$ per $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 6160 + 1920 + 625 + 3600}{16}$

Passaggio 9.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.6.1

Somma $- 6160$ e $1920$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 4240 + 625 + 3600}{16}$

Passaggio 9.2.6.2

Somma $- 4240$ e $625$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 3615 + 3600}{16}$

Passaggio 9.2.6.3

Somma $- 3615$ e $3600$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 15}{16}$

Passaggio 9.2.6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{15}{16}$

Passaggio 9.2.7

La risposta finale è $- \frac{15}{16}$ .

$- \frac{15}{16}$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = - \frac{5}{2}$ la derivata è $- \frac{15}{16}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 3, - 2)$ .

Decrescente su $(- 3, - 2)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 10

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{4} + 14 {(- 1)}^{3} + 71 {(- 1)}^{2} + 154 (- 1) + 120$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 1) = 1 + 14 {(- 1)}^{3} + 71 {(- 1)}^{2} + 154 (- 1) + 120$

Passaggio 10.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = 1 + 14 \cdot - 1 + 71 {(- 1)}^{2} + 154 (- 1) + 120$

Passaggio 10.2.1.3

Moltiplica $14$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 - 14 + 71 {(- 1)}^{2} + 154 (- 1) + 120$

Passaggio 10.2.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = 1 - 14 + 71 \cdot 1 + 154 (- 1) + 120$

Passaggio 10.2.1.5

Moltiplica $71$ per $1$ .

$f' (- 1) = 1 - 14 + 71 + 154 (- 1) + 120$

Passaggio 10.2.1.6

Moltiplica $154$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 - 14 + 71 - 154 + 120$

Passaggio 10.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Sottrai $14$ da $1$ .

$f' (- 1) = - 13 + 71 - 154 + 120$

Passaggio 10.2.2.2

Somma $- 13$ e $71$ .

$f' (- 1) = 58 - 154 + 120$

Passaggio 10.2.2.3

Sottrai $154$ da $58$ .

$f' (- 1) = - 96 + 120$

Passaggio 10.2.2.4

Somma $- 96$ e $120$ .

$f' (- 1) = 24$

Passaggio 10.2.3

La risposta finale è $24$ .

$24$

Passaggio 10.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $24$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 2, \infty)$ .

Crescente su $(- 2, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 11

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 5), (- 4, - 3), (- 2, \infty)$

Decrescente su: $(- 5, - 4), (- 3, - 2)$

Passaggio 12