Calcolo Esempi

$y = x^{2} - 2^{x}$ , $(3, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 3$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2^{x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [2^{x}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $2$ .

$2 x - 2^{x} \ln (2)$

Passaggio 1.3

Riordina i termini.

$- 2^{x} \ln (2) + 2 x$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = 3$ .

$- 2^{3} \ln (2) + 2 (3)$

Passaggio 1.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- 1 \cdot 8 \ln (2) + 2 (3)$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 \ln (2) + 2 (3)$

Passaggio 1.5.3

Semplifica $- 8 \ln (2)$ spostando $8$ all'interno del logaritmo.

$- \ln (2^{8}) + 2 (3)$

Passaggio 1.5.4

Eleva $2$ alla potenza di $8$ .

$- \ln (256) + 2 (3)$

Passaggio 1.5.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \ln (256) + 6$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $- \ln (256) + 6$ e un punto dato $(3, 1)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - (3))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $(- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 + (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.3

Espandi $(- \ln (256) + 6) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.3.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = - \ln (256) (x - 3) + 6 (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 x + 6 \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.3.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.4.1.1

Moltiplica $- \ln (256) \cdot - 3$ .

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Passaggio 2.3.1.4.1.1.1

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + 3 \ln (256) + 6 x + 6 \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.4.1.1.2

Semplifica $3 \ln (256)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (256^{3}) + 6 x + 6 \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.4.1.2

Eleva $256$ alla potenza di $3$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x + 6 \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.4.1.3

Moltiplica $6$ per $- 3$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$

Passaggio 2.3.1.4.2

Riordina i fattori in $- \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$ .

$y - 1 = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 18$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 1 + 6 x - 18$

Passaggio 2.3.3

Sottrai $18$ da $1$ .

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 6 x - 17$

Passaggio 2.3.4

Riscrivi l'equazione come $- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$ .

$- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$

Passaggio 2.3.5

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.5.1

Sottrai $6 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x$

Passaggio 2.3.5.2

Somma $17$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$

Passaggio 2.3.6

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.6.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Passaggio 2.3.6.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Passaggio 2.3.6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.6.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{x \ln (256)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Passaggio 2.3.6.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (x \ln (256))$ come $- (x \ln (256))$ .

$y = - (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Passaggio 2.3.6.3.1.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = - x \ln (256) + \frac{\ln (16777216)}{1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Passaggio 2.3.6.3.1.4

Dividi $\ln (16777216)$ per $1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Passaggio 2.3.6.3.1.5

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 6 x}{- 1}$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - 1 \cdot (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

Passaggio 2.3.6.3.1.6

Riscrivi $- 1 \cdot (- 6 x)$ come $- (- 6 x)$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

Passaggio 2.3.6.3.1.7

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x + \frac{17}{- 1}$

Passaggio 2.3.6.3.1.8

Dividi $17$ per $- 1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 17$

Passaggio 2.3.7

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 2.3.7.1

Sposta $\ln (16777216)$ .

$y = - x \ln (256) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

Passaggio 2.3.7.2

Scomponi $x$ da $- x \ln (256)$ .

$y = x (- 1 \ln (256)) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

Passaggio 2.3.7.3

Scomponi $x$ da $6 x$ .

$y = x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6 + \ln (16777216) - 17$

Passaggio 2.3.7.4

Scomponi $x$ da $x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6$ .

$y = x (- 1 \ln (256) + 6) + \ln (16777216) - 17$

Passaggio 2.3.7.5

Riordina $x$ e $- 1 \ln (256) + 6$ .

$y = (- 1 \ln (256) + 6) x + \ln (16777216) - 17$

Passaggio 3