Calcolo Esempi

$\frac{x^{3} - 4 x - 1}{2 x^{3}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x^{3} - 4 x - 1}{2 x^{3}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{3} - 4 x - 1}{2 x^{3}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{x^{3} - 4 x - 1}{2 x^{3}} d x$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{x^{3} - 4 x - 1}{x^{3}} d x$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta $x^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x - 1) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Passaggio 5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x - 1) x^{3 \cdot - 1} d x$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x - 1) x^{- 3} d x$

Passaggio 6

Espandi $(x^{3} - 4 x - 1) x^{- 3}$ .

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x) x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \int x^{3} x^{- 3} - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

Passaggio 6.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} \int x^{3 - 3} - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

Passaggio 6.4

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{1}{2} \int x^{0} - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

Passaggio 6.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

Passaggio 6.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 (x^{1} x^{- 3}) - 1 x^{- 3} d x$

Passaggio 6.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 x^{1 - 3} - 1 x^{- 3} d x$

Passaggio 6.8

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 x^{- 2} - 1 x^{- 3} d x$

Passaggio 6.9

Riordina $1$ e $- 4 x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} \int - 4 x^{- 2} + 1 - 1 x^{- 3} d x$

Passaggio 6.10

Sposta $1$ .

$\frac{1}{2} \int - 4 x^{- 2} - 1 x^{- 3} + 1 d x$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int - 4 x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 3} d x + \int d x)$

Passaggio 8

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (- 4 \int x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 3} d x + \int d x)$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) + \int - 1 x^{- 3} d x + \int d x)$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - \int x^{- 3} d x + \int d x)$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int d x)$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

$x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int d x)$

Passaggio 12.2

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int d x)$

Passaggio 13

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + x + C)$

Passaggio 14

Semplifica.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x) + C$

Passaggio 15

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{x^{3} - 4 x - 1}{2 x^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\frac{4}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x) + C$