Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{2 \sin^{2} (x)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.3.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.3.1.1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta l'esponente $2$ da $\sin^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 1.3.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{2 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{2 \sin^{2} (0)}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.3.3.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0}$

Passaggio 1.3.3.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{2 \sin^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]}$

Passaggio 3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]}$

Passaggio 3.4.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]}$

Passaggio 3.5

Somma $0$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]}$

Passaggio 3.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sin^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 3.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])}$

Passaggio 3.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])}$

Passaggio 3.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}$

Passaggio 3.8

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}$

Passaggio 3.9

Rimuovi le parentesi.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{4 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 3.10

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{4 \sin (x) \cos (x)}$

Passaggio 3.11

Riordina i fattori di $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{4 \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 4.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{4 \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \cos (x)}$

Passaggio 4.2

Sposta il termine $\frac{1}{4}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 4.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 4.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 4.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Converti da $\frac{1}{\cos (0)}$ a $\sec (0)$ .

$\frac{1}{4} \sec (0)$

Passaggio 6.2

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Passaggio 6.3

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$\frac{1}{4}$