Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) - \sin (x)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{\cos (2 \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 (2)})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Passaggio 1.2.3.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

Passaggio 1.3.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

Passaggio 1.3.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Passaggio 1.3.4

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{4}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{4}) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Passaggio 1.3.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{4})}$

Passaggio 1.3.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4})}$

Passaggio 1.3.5.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 1.3.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 1.3.5.3

Sottrai $\sqrt{2}$ da $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{\frac{0}{2}}$

Passaggio 1.3.5.4

Dividi $0$ per $2$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.5.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) - \sin (x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Passaggio 3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (x) - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Passaggio 3.8

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Passaggio 3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Passaggio 3.9.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 3.9.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{- \sin (x) - \cos (x)}$

Passaggio 4

Sposta il termine $- 2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (2 x)}{- \sin (x) - \cos (x)}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x)}$

Passaggio 6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- 2 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x)}$

Passaggio 7

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x)}$

Passaggio 8

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{- lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Passaggio 9

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Passaggio 10

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Passaggio 11

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{4}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Passaggio 11.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Passaggio 11.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Passaggio 12

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{2 (2)})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Passaggio 12.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Passaggio 12.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \frac{\sin (\frac{π}{2})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Passaggio 12.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 2 \frac{1}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Passaggio 12.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Scomponi $- 1$ da $- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$ .

$- 2 \frac{1}{- (\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4}))}$

Passaggio 12.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \frac{1}{- (\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4}))}$

Passaggio 12.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \frac{1}{- (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})}$

Passaggio 12.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 2 \frac{1}{- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 12.2.5

Riscrivi $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Somma $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$- 2 \frac{1}{- \frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 12.2.5.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.2.1

Riduci l'espressione $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$- 2 \frac{1}{- \frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 12.2.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{1}}$

Passaggio 12.2.5.2.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{2}}$

Passaggio 12.3

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$- 2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{2}}$

Passaggio 12.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 2 (- \frac{1}{\sqrt{2}})$

Passaggio 12.4

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 (- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

Passaggio 12.5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

Passaggio 12.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})$

Passaggio 12.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})$

Passaggio 12.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Passaggio 12.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

Passaggio 12.5.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 12.5.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 12.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 12.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 12.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}})$

Passaggio 12.5.6.5

Calcola l'esponente.

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 12.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ nel numeratore.

$- 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 12.6.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 12.6.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 12.6.4

Riscrivi l'espressione.

$- - \sqrt{2}$

Passaggio 12.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \sqrt{2}$

Passaggio 12.8

Moltiplica $\sqrt{2}$ per $1$ .

$\sqrt{2}$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\sqrt{2}$

Forma decimale:

$1.41421356 \dots$