Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + x)}{x}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (e^{3 x} + x)}{lim_{x \to \infty} x}$

Passaggio 1.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Passaggio 1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + x)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = e^{3 x} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $e^{3 x} + x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $e^{3 x} + x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{3 x} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.8

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(3 e^{3 x} + 1) \frac{1}{e^{3 x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.10.2

Moltiplica $3 e^{3 x} + 1$ per $\frac{1}{e^{3 x} + x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}}{1}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x} \cdot 1$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}$

Passaggio 6

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Passaggio 6.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Passaggio 6.1.2.2

Poiché la funzione $e^{3 x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $3$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $3$ rimosso.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Passaggio 6.1.2.2.2

Poiché l'esponente $3 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{3 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Passaggio 6.1.2.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty + 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Passaggio 6.1.2.4

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Passaggio 6.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} x}$

Passaggio 6.1.3.2

Poiché l'esponente $3 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{3 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} x}$

Passaggio 6.1.3.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty + \infty}$

Passaggio 6.1.3.4

Infinito più infinito è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 6.1.3.5

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 6.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Passaggio 6.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Passaggio 6.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 e^{3 x} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Passaggio 6.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Passaggio 6.3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Passaggio 6.3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Passaggio 6.3.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Passaggio 6.3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Passaggio 6.3.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Passaggio 6.3.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Passaggio 6.3.3.7

Moltiplica $3$ per $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Passaggio 6.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Passaggio 6.3.5

Somma $9 e^{3 x}$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Passaggio 6.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{3 x} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.7.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.7.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.3.7.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.3.7.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.3.7.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.3.7.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.3.7.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.3.7.5

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 1}$

Passaggio 7

Sposta il termine $9$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 1}$

Passaggio 8

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$9 \frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + 1}$

Passaggio 8.1.2

Poiché l'esponente $3 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{3 x}$ tende a $\infty$ .

$9 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + 1}$

Passaggio 8.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$9 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 8.1.3.2

Poiché la funzione $e^{3 x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $3$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.3.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $3$ rimosso.

$9 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 8.1.3.2.2

Poiché l'esponente $3 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{3 x}$ tende a $\infty$ .

$9 \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 8.1.3.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$9 \frac{\infty}{\infty + 1}$

Passaggio 8.1.3.4

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$9 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 8.1.3.5

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$9 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 8.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$9 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 8.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Passaggio 8.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Passaggio 8.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Passaggio 8.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Passaggio 8.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Passaggio 8.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Passaggio 8.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Passaggio 8.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Passaggio 8.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 e^{3 x} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 8.3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.8.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 8.3.8.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.8.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 8.3.8.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 8.3.8.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 8.3.8.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 8.3.8.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 8.3.8.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 8.3.8.6

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \cdot 3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 8.3.8.7

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 8.3.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{9 e^{3 x} + 0}$

Passaggio 8.3.10

Somma $9 e^{3 x}$ e $0$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{9 e^{3 x}}$

Passaggio 8.4

Riduci.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Elimina il fattore comune di $3$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1

Scomponi $3$ da $3 e^{3 x}$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x})}{9 e^{3 x}}$

Passaggio 8.4.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.2.1

Scomponi $3$ da $9 e^{3 x}$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x})}{3 \cdot 3 e^{3 x}}$

Passaggio 8.4.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \cdot 3 e^{3 x}}$

Passaggio 8.4.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x}}$

Passaggio 8.4.2

Elimina il fattore comune di $e^{3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x}}$

Passaggio 8.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{3}$

Passaggio 9

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Calcola il limite di $\frac{1}{3}$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$9 (\frac{1}{3})$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$3 (3) \frac{1}{3}$

Passaggio 9.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 3 \frac{1}{3}$

Passaggio 9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3$