Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 4 x + 7$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 4 x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x^{3} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$4 x^{3} - 4 + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} - 4 + 0$

Passaggio 1.1.3.2

Somma $4 x^{3} - 4$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 4$ .

$4 x^{3} - 4$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 4 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 4 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{3} = 4$

Passaggio 2.3

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{3} - 4 = 0$

Passaggio 2.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 4 = 0$

Passaggio 2.4.1.2

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 1) = 0$

Passaggio 2.4.1.3

Scomponi $4$ da $4 (x^{3}) + 4 (- 1)$ .

$4 (x^{3} - 1) = 0$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$4 (x^{3} - 1^{3}) = 0$

Passaggio 2.4.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Passaggio 2.4.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) = 0$

Passaggio 2.4.4.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0$

Passaggio 2.4.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Passaggio 2.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Passaggio 2.6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.7

Imposta $x^{2} + x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Imposta $x^{2} + x + 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Passaggio 2.7.2

Risolvi $x^{2} + x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.7.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 1$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.7.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.4.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.4.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.7.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.7.2.4.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.7.2.4.5

Scomponi $- 1$ da $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 2.7.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 2.7.2.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.7.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.5.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.5.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.7.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.7.2.5.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.7.2.5.5

Scomponi $- 1$ da $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 2.7.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 2.7.2.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.7.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ vera.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $1$ .

$1$

Passaggio 4

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = 4 x^{3} - 4$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = x^{4} - 4 x + 7$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} - 4$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 4 \cdot 0 - 4$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f' (0) = 0 - 4$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$f' (0) = - 4$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $- 4$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 4$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 4$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $4$ per $8$ .

$f' (2) = 32 - 4$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $4$ da $32$ .

$f' (2) = 28$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $28$ .

$28$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $28$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(1, \infty)$ .

Crescente su $(1, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(1, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, 1)$

Passaggio 8