Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x + 4 \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 4 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4 + 4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$4 + 4 (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f' (x) = 4 - 4 \sin (x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 - 4 \sin (x)$ .

$4 - 4 \sin (x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 - 4 \sin (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 \sin (x) = - 4$

Passaggio 2.3

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \sin (x) = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \sin (x) = - 4$ .

$\frac{- 4 \sin (x)}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 \sin (x)}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 4}{- 4}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $- 4$ per $- 4$ .

$\sin (x) = 1$

Passaggio 2.4

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (1)$

Passaggio 2.5

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.6

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.7

Semplifica $π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.7.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.7.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 2.7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 2.7.3.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.8

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.8.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.8.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.9

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{π}{2} + 2 π n$ .

$\frac{π}{2} + 2 π n$

Passaggio 4

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = 4 - 4 \sin (x)$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = 4 x + 4 \cos (x)$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2} + 2 π n - 1$ nell'espressione.

$f' (\frac{π}{2} + 2 π n - 1) = 4 - 4 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$

Passaggio 5.2

La risposta finale è $4 - 4 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$ .

$4 - 4 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$

Passaggio 5.3

Semplifica.

$4 - 4 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$

Passaggio 5.4

In corrispondenza di $x = \frac{π}{2} + 2 π n - 1$ la derivata è $4 - 4 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n)$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2} + 2 π n + 1$ nell'espressione.

$f' (\frac{π}{2} + 2 π n + 1) = 4 - 4 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$

Passaggio 6.2

La risposta finale è $4 - 4 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$ .

$4 - 4 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$4 - 4 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$

Passaggio 6.4

In corrispondenza di $x = \frac{π}{2} + 2 π n + 1$ la derivata è $4 - 4 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

Decrescente su $(\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Decrescente su: $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n), (\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$

Passaggio 8