Calcolo Esempi

$\frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $\frac{1}{10}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{5}}{10}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.2.3

$5$ e $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.2.4

$\frac{5}{10}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.2.5

Elimina il fattore comune di $5$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Scomponi $5$ da $5 x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.2.1

Scomponi $5$ da $10$ .

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{4}}{8}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{8} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.3.3

$4$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{4}{8} x^{3} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.3.4

$\frac{4}{8}$ e $x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{8} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.3.5

Elimina il fattore comune di $4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{4 (x^{3})}{8} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2} + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $\frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{4}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Passaggio 2.2.2.3

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Passaggio 2.2.2.4

$\frac{4}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Passaggio 2.2.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.5.1

Scomponi $2$ da $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Passaggio 2.2.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Passaggio 2.2.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Passaggio 2.2.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Passaggio 2.2.2.5.2.4

Dividi $2 x^{3}$ per $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{3}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 x^{3} + \frac{1}{2} (3 x^{2})$

Passaggio 2.2.3.3

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$

Passaggio 2.2.3.4

$\frac{3}{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$ .

$2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{3}$ .

$x^{2} (2 x) + \frac{3 x^{2}}{2} = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $\frac{3 x^{2}}{2}$ .

$x^{2} (2 x) + x^{2} (\frac{3}{2}) = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (2 x) + x^{2} \frac{3}{2}$ .

$x^{2} (2 x + \frac{3}{2}) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 x + \frac{3}{2} = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $2 x + \frac{3}{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $2 x + \frac{3}{2}$ uguale a $0$ .

$2 x + \frac{3}{2} = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $2 x + \frac{3}{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Sottrai $\frac{3}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - \frac{3}{2}$

Passaggio 3.5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - \frac{3}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - \frac{3}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Passaggio 3.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Passaggio 3.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5.2.2.3.2

Moltiplica $- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{2}$ .

$x = - \frac{3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.5.2.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = - \frac{3}{4}$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{2} (2 x + \frac{3}{2}) = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{3}{4}$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{{(0)}^{5}}{10} + \frac{{(0)}^{4}}{8} + 2$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{0}{10} + \frac{{(0)}^{4}}{8} + 2$

Passaggio 4.1.2.1.2

Dividi $0$ per $10$ .

$f (0) = 0 + \frac{{(0)}^{4}}{8} + 2$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + \frac{0}{8} + 2$

Passaggio 4.1.2.1.4

Dividi $0$ per $8$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$f (0) = 2$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ è $(0, 2)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 2)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- \frac{3}{4}$ in $f (x) = \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{3}{4}$ nell'espressione.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{{(- \frac{3}{4})}^{5}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{{(- 1)}^{5} {(\frac{3}{4})}^{5}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Passaggio 4.3.2.1.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- {(\frac{3}{4})}^{5}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Passaggio 4.3.2.1.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- \frac{3^{5}}{4^{5}}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Passaggio 4.3.2.1.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- \frac{243}{4^{5}}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Passaggio 4.3.2.1.1.5

Eleva $4$ alla potenza di $5$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- \frac{243}{1024}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{1024} \cdot \frac{1}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Passaggio 4.3.2.1.3

Moltiplica $- \frac{243}{1024} \cdot \frac{1}{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{10}$ per $\frac{243}{1024}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10 \cdot 1024} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Passaggio 4.3.2.1.3.2

Moltiplica $10$ per $1024$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Passaggio 4.3.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{{(- 1)}^{4} {(\frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Passaggio 4.3.2.1.4.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{1 {(\frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Passaggio 4.3.2.1.4.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{1 (\frac{3^{4}}{4^{4}})}{8} + 2$

Passaggio 4.3.2.1.4.4

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{1 (\frac{81}{4^{4}})}{8} + 2$

Passaggio 4.3.2.1.4.5

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{1 (\frac{81}{256})}{8} + 2$

Passaggio 4.3.2.1.4.6

Moltiplica $\frac{81}{256}$ per $1$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{\frac{81}{256}}{8} + 2$

Passaggio 4.3.2.1.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81}{256} \cdot \frac{1}{8} + 2$

Passaggio 4.3.2.1.6

Moltiplica $\frac{81}{256} \cdot \frac{1}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.6.1

Moltiplica $\frac{81}{256}$ per $\frac{1}{8}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81}{256 \cdot 8} + 2$

Passaggio 4.3.2.1.6.2

Moltiplica $256$ per $8$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81}{2048} + 2$

Passaggio 4.3.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Moltiplica $\frac{81}{2048}$ per $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81}{2048} \cdot \frac{5}{5} + 2$

Passaggio 4.3.2.2.2

Moltiplica $\frac{81}{2048}$ per $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{2048 \cdot 5} + 2$

Passaggio 4.3.2.2.3

Scrivi $2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{2048 \cdot 5} + \frac{2}{1}$

Passaggio 4.3.2.2.4

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{10240}{10240}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{2048 \cdot 5} + \frac{2}{1} \cdot \frac{10240}{10240}$

Passaggio 4.3.2.2.5

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{10240}{10240}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{2048 \cdot 5} + \frac{2 \cdot 10240}{10240}$

Passaggio 4.3.2.2.6

Riordina i fattori di $2048 \cdot 5$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{5 \cdot 2048} + \frac{2 \cdot 10240}{10240}$

Passaggio 4.3.2.2.7

Moltiplica $5$ per $2048$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{10240} + \frac{2 \cdot 10240}{10240}$

Passaggio 4.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 243 + 81 \cdot 5 + 2 \cdot 10240}{10240}$

Passaggio 4.3.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.1

Moltiplica $81$ per $5$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 243 + 405 + 2 \cdot 10240}{10240}$

Passaggio 4.3.2.4.2

Moltiplica $2$ per $10240$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 243 + 405 + 20480}{10240}$

Passaggio 4.3.2.5

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Somma $- 243$ e $405$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{162 + 20480}{10240}$

Passaggio 4.3.2.5.2

Somma $162$ e $20480$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{20642}{10240}$

Passaggio 4.3.2.5.3

Elimina il fattore comune di $20642$ e $10240$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.3.1

Scomponi $2$ da $20642$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{2 (10321)}{10240}$

Passaggio 4.3.2.5.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.3.2.1

Scomponi $2$ da $10240$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{2 \cdot 10321}{2 \cdot 5120}$

Passaggio 4.3.2.5.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{2 \cdot 10321}{2 \cdot 5120}$

Passaggio 4.3.2.5.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{10321}{5120}$

Passaggio 4.3.2.6

La risposta finale è $\frac{10321}{5120}$ .

$\frac{10321}{5120}$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $- \frac{3}{4}$ in $f (x) = \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ è $(- \frac{3}{4}, \frac{10321}{5120})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \frac{3}{4}, \frac{10321}{5120})$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 2), (- \frac{3}{4}, \frac{10321}{5120})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \frac{3}{4}) \cup (- \frac{3}{4}, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{3}{4})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.85$ nell'espressione.

$f'' (- 0.85) = 2 {(- 0.85)}^{3} + \frac{3 {(- 0.85)}^{2}}{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 0.85$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.85) = 2 \cdot - 0.614125 + \frac{3 {(- 0.85)}^{2}}{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 0.614125$ .

$f'' (- 0.85) = - 1.22825 + \frac{3 {(- 0.85)}^{2}}{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 0.85$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.85) = - 1.22825 + \frac{3 \cdot 0.7225}{2}$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $3$ per $0.7225$ .

$f'' (- 0.85) = - 1.22825 + \frac{2.1675}{2}$

Passaggio 6.2.1.5

Dividi $2.1675$ per $2$ .

$f'' (- 0.85) = - 1.22825 + 1.08375$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 1.22825$ e $1.08375$ .

$f'' (- 0.85) = - 0.1445$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 0.1445$ .

$- 0.1445$

Passaggio 6.3

Per $- 0.85$ , la derivata seconda è $- 0.1445$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - \frac{3}{4})$ .

Decrescente su $(- \infty, - \frac{3}{4})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{3}{4}, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.375$ nell'espressione.

$f'' (- 0.375) = 2 {(- 0.375)}^{3} + \frac{3 {(- 0.375)}^{2}}{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 0.375$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.375) = 2 \cdot - 0.05273437 + \frac{3 {(- 0.375)}^{2}}{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 0.05273437$ .

$f'' (- 0.375) = - 0.10546875 + \frac{3 {(- 0.375)}^{2}}{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $- 0.375$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.375) = - 0.10546875 + \frac{3 \cdot 0.140625}{2}$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $3$ per $0.140625$ .

$f'' (- 0.375) = - 0.10546875 + \frac{0.421875}{2}$

Passaggio 7.2.1.5

Dividi $0.421875$ per $2$ .

$f'' (- 0.375) = - 0.10546875 + 0.2109375$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 0.10546875$ e $0.2109375$ .

$f'' (- 0.375) = 0.10546875$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $0.10546875$ .

$0.10546875$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $- 0.375$ , la derivata seconda è $0.10546875$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \frac{3}{4}, 0)$ .

Crescente su $(- \frac{3}{4}, 0)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$f'' (0.1) = 2 {(0.1)}^{3} + \frac{3 {(0.1)}^{2}}{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $0.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.1) = 2 \cdot 0.001 + \frac{3 {(0.1)}^{2}}{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $2$ per $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.002 + \frac{3 {(0.1)}^{2}}{2}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.1) = 0.002 + \frac{3 \cdot 0.01}{2}$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $3$ per $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.002 + \frac{0.03}{2}$

Passaggio 8.2.1.5

Dividi $0.03$ per $2$ .

$f'' (0.1) = 0.002 + 0.015$

Passaggio 8.2.2

Somma $0.002$ e $0.015$ .

$f'' (0.1) = 0.017$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $0.017$ .

$0.017$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $0.1$ , la derivata seconda è $0.017$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(- \frac{3}{4}, \frac{10321}{5120})$ .

$(- \frac{3}{4}, \frac{10321}{5120})$

Passaggio 10