Calcolo Esempi

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ , $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$

Passaggio 1

Se $f$ è continua sull'intervallo $[a, b]$ e differenziabile su $(a, b)$ , allora esiste almeno un numero reale $c$ nell'intervallo $(a, b)$ tale che $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Il teorema di Lagrange esprime la relazione tra il coefficiente angolare della tangente alla curva con $x = c$ e il coefficiente angolare della retta passante per i punti $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Quando $f (x)$ è continua su $[a, b]$

e se $f (x)$ differenziabile su $(a, b)$ ,

quindi esiste almeno un punto, $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2.2

$f (x)$ è continua su $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 3.1.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 3.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.1.2.2

$\frac{1}{2}$ e $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Passaggio 3.1.2.4

Moltiplica $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Passaggio 3.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Passaggio 4

Definisci se la derivata è continua su $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4.2

$f' (x)$ è continua su $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

La funzione è continua.

Passaggio 5

La funzione è differenziabile su $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ perché la derivata è continua su $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 6

$f (x)$ soddisfa le due condizioni del teorema del valor medio. È continua su $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ e differenziabile su $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

$f (x)$ è continua su $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ e differenziabile su $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

Passaggio 7

Calcola $f (a)$ dall'intervallo $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 7.2.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 8

Risolvi $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ per $x$ . $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{- (f (\frac{3 π}{2}) + f (\frac{π}{2}))}{- (\frac{3 π}{2} + \frac{π}{2})}$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Semplifica $2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1.1

Moltiplica $\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 (\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}})$

Passaggio 8.2.2.1.1.2

Combina.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.2.1.3

Semplifica cancellando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.2.1.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ nel numeratore.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.2.1.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.2.1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 (- \frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.2.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.3.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{2}$ nel numeratore.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 \frac{- π}{2}}$

Passaggio 8.2.2.1.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 \frac{- π}{2}}$

Passaggio 8.2.2.1.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π - π}$

Passaggio 8.2.2.1.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.4.1

Sottrai $\sqrt{2}$ da $\sqrt{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{3 π - π}$

Passaggio 8.2.2.1.4.2

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 π}$

Passaggio 8.2.2.1.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.4.3.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 (π)}$

Passaggio 8.2.2.1.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 π}$

Passaggio 8.2.2.1.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{0}{π}$

Passaggio 8.2.2.1.4.4

Dividi $0$ per $π$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Passaggio 8.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Passaggio 8.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 8.5

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$x = π$

Passaggio 8.6

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 8.7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 8.7.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 8.7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 8.7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.2.2.1

Semplifica $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.2.2.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 8.7.2.2.1.2

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 8.7.2.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 8.7.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.2.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 8.7.2.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Passaggio 8.7.2.2.1.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = 4 π - π$

Passaggio 8.7.2.2.1.6

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = 3 π$

Passaggio 8.8

Trova il periodo di $\cos (\frac{x}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 8.8.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Passaggio 8.8.3

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.8.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 2$

Passaggio 8.8.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 π$

Passaggio 8.9

Il periodo della funzione $\cos (\frac{x}{2})$ è $4 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $4 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8.10

Consolida le risposte.

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

C'è una tangente che si trova con $x = π + 2 π n$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = \frac{π}{2}$ e $b = \frac{3 π}{2}$ .

C'è una tangente con $x = π + 2 π n$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = \frac{π}{2}$ e $b = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 10