Calcolo Esempi

$\frac{2 x}{16 x^{2} - 9}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{16 x^{2} - 9}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{16 x^{2} - 9}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{16 x^{2} - 9}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 16 x^{2} - 9$ .

$2 \frac{(16 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9]}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{(16 x^{2} - 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9]}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $16 x^{2} - 9$ per $1$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9]}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x^{2}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $2$ per $16$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (32 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.3.7

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (32 x + 0)}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.3.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Somma $32 x$ e $0$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (32 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.3.8.2

Moltiplica $32$ per $- 1$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - 32 x \cdot x}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - 32 (x^{1} x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - 32 (x^{1} x^{1})}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - 32 x^{1 + 1}}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.7

Somma $1$ e $1$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - 32 x^{2}}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.8

Sottrai $32 x^{2}$ da $16 x^{2}$ .

$2 \frac{- 16 x^{2} - 9}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.9

$2$ e $\frac{- 16 x^{2} - 9}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- 16 x^{2} - 9)}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (- 16 x^{2}) + 2 \cdot - 9}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.2.1

Moltiplica $- 16$ per $2$ .

$\frac{- 32 x^{2} + 2 \cdot - 9}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.10.2.2

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$f' (x) = \frac{- 32 x^{2} - 18}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [- 32 x^{2} - 18] - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{({(16 x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(16 x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [- 32 x^{2} - 18] - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [- 32 x^{2} - 18] - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 32 x^{2} - 18$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 32 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 32 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18]) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $2$ per $- 32$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x + \frac{d}{d x} [- 18]) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.2.6

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x + 0) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.2.7

Somma $- 64 x$ e $0$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 16 x^{2} - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $16 x^{2} - 9$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - (- 32 x^{2} - 18) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - (- 32 x^{2} - 18) (2 u \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $16 x^{2} - 9$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - (- 32 x^{2} - 18) (2 (16 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x^{2}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica $2$ per $16$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (32 x + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.4.6

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (32 x + 0))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.4.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.1

Somma $32 x$ e $0$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (32 x))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.4.7.2

Sposta $32$ alla sinistra di $16 x^{2} - 9$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) (32 \cdot (16 x^{2} - 9) x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.4.7.3

Moltiplica $32$ per $- 2$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 64 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) ((16 x^{2} - 9) x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 64 {(16 x^{2} - 9)}^{2} x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.2

Riscrivi ${(16 x^{2} - 9)}^{2}$ come $(16 x^{2} - 9) (16 x^{2} - 9)$ .

$\frac{- 64 ((16 x^{2} - 9) (16 x^{2} - 9)) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.3

Espandi $(16 x^{2} - 9) (16 x^{2} - 9)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 64 (16 x^{2} (16 x^{2} - 9) - 9 (16 x^{2} - 9)) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 64 (16 x^{2} (16 x^{2}) + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2} - 9)) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 64 (16 x^{2} (16 x^{2}) + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.4.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 64 (16 \cdot 16 x^{2} x^{2} + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.4.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{- 64 (16 \cdot 16 (x^{2} x^{2}) + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 64 (16 \cdot 16 x^{2 + 2} + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{- 64 (16 \cdot 16 x^{4} + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.3

Moltiplica $16$ per $16$ .

$\frac{- 64 (256 x^{4} + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.4

Moltiplica $- 9$ per $16$ .

$\frac{- 64 (256 x^{4} - 144 x^{2} - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.5

Moltiplica $16$ per $- 9$ .

$\frac{- 64 (256 x^{4} - 144 x^{2} - 144 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.6

Moltiplica $- 9$ per $- 9$ .

$\frac{- 64 (256 x^{4} - 144 x^{2} - 144 x^{2} + 81) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.2

Sottrai $144 x^{2}$ da $- 144 x^{2}$ .

$\frac{- 64 (256 x^{4} - 288 x^{2} + 81) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(- 64 (256 x^{4}) - 64 (- 288 x^{2}) - 64 \cdot 81) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.6.1

Moltiplica $256$ per $- 64$ .

$\frac{(- 16384 x^{4} - 64 (- 288 x^{2}) - 64 \cdot 81) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.6.2

Moltiplica $- 288$ per $- 64$ .

$\frac{(- 16384 x^{4} + 18432 x^{2} - 64 \cdot 81) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.6.3

Moltiplica $- 64$ per $81$ .

$\frac{(- 16384 x^{4} + 18432 x^{2} - 5184) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 16384 x^{4} x + 18432 x^{2} x - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 16384 (x \cdot x^{4}) + 18432 x^{2} x - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 16384 (x^{1} x^{4}) + 18432 x^{2} x - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 16384 x^{1 + 4} + 18432 x^{2} x - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{2} x - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 (x \cdot x^{2}) - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 (x^{1} x^{2}) - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{1 + 2} - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.9.1

Moltiplica $- 32$ per $- 64$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.9.2

Moltiplica $- 64$ per $- 18$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} + 1152) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.10

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.10.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} + 1152) (16 (x \cdot x^{2}) - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.10.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.10.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} + 1152) (16 (x^{1} x^{2}) - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.10.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} + 1152) (16 x^{1 + 2} - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.10.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} + 1152) (16 x^{3} - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.11

Espandi $(2048 x^{2} + 1152) (16 x^{3} - 9 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 x^{2} (16 x^{3} - 9 x) + 1152 (16 x^{3} - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 x^{2} (16 x^{3}) + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3} - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 x^{2} (16 x^{3}) + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 \cdot 16 x^{2} x^{3} + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 \cdot 16 (x^{3} x^{2}) + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 \cdot 16 x^{3 + 2} + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2.3

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 \cdot 16 x^{5} + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.3

Moltiplica $2048$ per $16$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 \cdot - 9 x^{2} x + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 \cdot - 9 (x \cdot x^{2}) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 \cdot - 9 (x^{1} x^{2}) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 \cdot - 9 x^{1 + 2} + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 \cdot - 9 x^{3} + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.6

Moltiplica $2048$ per $- 9$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} - 18432 x^{3} + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.7

Moltiplica $16$ per $1152$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} - 18432 x^{3} + 18432 x^{3} + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.8

Moltiplica $- 9$ per $1152$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} - 18432 x^{3} + 18432 x^{3} - 10368 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.2

Somma $- 18432 x^{3}$ e $18432 x^{3}$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 0 - 10368 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.3

Somma $32768 x^{5}$ e $0$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} - 10368 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.2

Somma $- 16384 x^{5}$ e $32768 x^{5}$ .

$\frac{16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x - 10368 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.3

Sottrai $10368 x$ da $- 5184 x$ .

$\frac{16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 15552 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Scomponi $64 x$ da $16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 15552 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1

Scomponi $64 x$ da $16384 x^{5}$ .

$\frac{64 x (256 x^{4}) + 18432 x^{3} - 15552 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.2

Scomponi $64 x$ da $18432 x^{3}$ .

$\frac{64 x (256 x^{4}) + 64 x (288 x^{2}) - 15552 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.3

Scomponi $64 x$ da $- 15552 x$ .

$\frac{64 x (256 x^{4}) + 64 x (288 x^{2}) + 64 x (- 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.4

Scomponi $64 x$ da $64 x (256 x^{4}) + 64 x (288 x^{2})$ .

$\frac{64 x (256 x^{4} + 288 x^{2}) + 64 x (- 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.5

Scomponi $64 x$ da $64 x (256 x^{4} + 288 x^{2}) + 64 x (- 243)$ .

$\frac{64 x (256 x^{4} + 288 x^{2} - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{64 x (256 {(x^{2})}^{2} + 288 x^{2} - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.3

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$\frac{64 x (256 u^{2} + 288 u - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.4

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 256 \cdot - 243 = - 62208$ e la cui somma è $b = 288$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.4.1.1

Scomponi $288$ da $288 u$ .

$\frac{64 x (256 u^{2} + 288 (u) - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.4.1.2

Riscrivi $288$ come $- 144$ più $432$ .

$\frac{64 x (256 u^{2} + (- 144 + 432) u - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{64 x (256 u^{2} - 144 u + 432 u - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{64 x ((256 u^{2} - 144 u) + 432 u - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{64 x (16 u (16 u - 9) + 27 (16 u - 9))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $16 u - 9$ .

$\frac{64 x ((16 u - 9) (16 u + 27))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{64 x ((16 x^{2} - 9) (16 x^{2} + 27))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.6

Riscrivi $16 x^{2}$ come ${(4 x)}^{2}$ .

$\frac{64 x (({(4 x)}^{2} - 9) (16 x^{2} + 27))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.7

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{64 x (({(4 x)}^{2} - 3^{2}) (16 x^{2} + 27))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.8

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 4 x$ e $b = 3$ .

$\frac{64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Riscrivi $16 x^{2}$ come ${(4 x)}^{2}$ .

$\frac{64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)}{{({(4 x)}^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5.5.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)}{{({(4 x)}^{2} - 3^{2})}^{4}}$

Passaggio 2.5.5.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 4 x$ e $b = 3$ .

$\frac{64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)}{{((4 x + 3) (4 x - 3))}^{4}}$

Passaggio 2.5.5.4

Applica la regola del prodotto a $(4 x + 3) (4 x - 3)$ .

$\frac{64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)}{{(4 x + 3)}^{4} {(4 x - 3)}^{4}}$

Passaggio 2.5.6

Elimina il fattore comune di $4 x + 3$ e ${(4 x + 3)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.1

Scomponi $4 x + 3$ da $64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)$ .

$\frac{(4 x + 3) ((64 x (4 x - 3)) (16 x^{2} + 27))}{{(4 x + 3)}^{4} {(4 x - 3)}^{4}}$

Passaggio 2.5.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.1

Scomponi $4 x + 3$ da ${(4 x + 3)}^{4} {(4 x - 3)}^{4}$ .

$\frac{(4 x + 3) ((64 x (4 x - 3)) (16 x^{2} + 27))}{(4 x + 3) ({(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{4})}$

Passaggio 2.5.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(4 x + 3) ((64 x (4 x - 3)) (16 x^{2} + 27))}{(4 x + 3) ({(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{4})}$

Passaggio 2.5.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(64 x (4 x - 3)) (16 x^{2} + 27)}{{(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{4}}$

Passaggio 2.5.7

Elimina il fattore comune di $4 x - 3$ e ${(4 x - 3)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.7.1

Scomponi $4 x - 3$ da $(64 x (4 x - 3)) (16 x^{2} + 27)$ .

$\frac{(4 x - 3) ((64 x) (16 x^{2} + 27))}{{(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{4}}$

Passaggio 2.5.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.7.2.1

Scomponi $4 x - 3$ da ${(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{4}$ .

$\frac{(4 x - 3) ((64 x) (16 x^{2} + 27))}{(4 x - 3) ({(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{3})}$

Passaggio 2.5.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(4 x - 3) ((64 x) (16 x^{2} + 27))}{(4 x - 3) ({(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{3})}$

Passaggio 2.5.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{(64 x) (16 x^{2} + 27)}{{(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{64 x (16 x^{2} + 27)}{{(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{3}}$