Calcolo Esempi

$3 x - 4 x^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 4 x^{\frac{5}{6}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{6}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{6}}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{6}}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{6}}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{6}}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{6}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{\frac{5}{6}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{6}}]$ .

$3 - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{6}}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{6}$ .

$3 - 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1})$

Passaggio 1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$3 - 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}})$

Passaggio 1.3.4

$- 1$ e $\frac{6}{6}$ .

$3 - 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}})$

Passaggio 1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 - 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 1 \cdot 6}{6}})$

Passaggio 1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$3 - 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 6}{6}})$

Passaggio 1.3.6.2

Sottrai $6$ da $5$ .

$3 - 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{- 1}{6}})$

Passaggio 1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 - 4 (\frac{5}{6} x^{- \frac{1}{6}})$

Passaggio 1.3.8

$\frac{5}{6}$ e $x^{- \frac{1}{6}}$ .

$3 - 4 \frac{5 x^{- \frac{1}{6}}}{6}$

Passaggio 1.3.9

$- 4$ e $\frac{5 x^{- \frac{1}{6}}}{6}$ .

$3 + \frac{- 4 (5 x^{- \frac{1}{6}})}{6}$

Passaggio 1.3.10

Moltiplica $5$ per $- 4$ .

$3 + \frac{- 20 x^{- \frac{1}{6}}}{6}$

Passaggio 1.3.11

Sposta $x^{- \frac{1}{6}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{- 20}{6 x^{\frac{1}{6}}}$

Passaggio 1.3.12

Scomponi $2$ da $- 20$ .

$3 + \frac{2 (- 10)}{6 x^{\frac{1}{6}}}$

Passaggio 1.3.13

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.3.13.1

Scomponi $2$ da $6 x^{\frac{1}{6}}$ .

$3 + \frac{2 (- 10)}{2 (3 x^{\frac{1}{6}})}$

Passaggio 1.3.13.2

Elimina il fattore comune.

$3 + \frac{2 \cdot - 10}{2 (3 x^{\frac{1}{6}})}$

Passaggio 1.3.13.3

Riscrivi l'espressione.

$3 + \frac{- 10}{3 x^{\frac{1}{6}}}$

Passaggio 1.3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 3 - \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- \frac{10}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}]$ .

$0 - \frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}$ come ${(x^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ .

$0 - \frac{10}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{6}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{6}}$ .

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Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{6}}$ .

$0 - \frac{10}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{6}}])$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0 - \frac{10}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{6}}])$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{6}}$ .

$0 - \frac{10}{3} (- {(x^{\frac{1}{6}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{6}}])$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{6}$ .

$0 - \frac{10}{3} (- {(x^{\frac{1}{6}})}^{- 2} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1}))$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{6}})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{10}{3} (- x^{\frac{1}{6} \cdot - 2} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1}))$

Passaggio 2.2.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$0 - \frac{10}{3} (- x^{\frac{1}{2 (3)} \cdot - 2} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1}))$

Passaggio 2.2.5.2.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$0 - \frac{10}{3} (- x^{\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1}))$

Passaggio 2.2.5.2.3

Elimina il fattore comune.

$0 - \frac{10}{3} (- x^{\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1}))$

Passaggio 2.2.5.2.4

Riscrivi l'espressione.

$0 - \frac{10}{3} (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1}))$

Passaggio 2.2.5.3

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$0 - \frac{10}{3} (- x^{\frac{- 1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1}))$

Passaggio 2.2.5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1}))$

Passaggio 2.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$0 - \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}))$

Passaggio 2.2.7

$- 1$ e $\frac{6}{6}$ .

$0 - \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}))$

Passaggio 2.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 - \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1 - 1 \cdot 6}{6}}))$

Passaggio 2.2.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$0 - \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1 - 6}{6}}))$

Passaggio 2.2.9.2

Sottrai $6$ da $1$ .

$0 - \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{- 5}{6}}))$

Passaggio 2.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{- \frac{5}{6}}))$

Passaggio 2.2.11

$\frac{1}{6}$ e $x^{- \frac{5}{6}}$ .

$0 - \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} \frac{x^{- \frac{5}{6}}}{6})$

Passaggio 2.2.12

$\frac{x^{- \frac{5}{6}}}{6}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$0 - \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{6}} x^{- \frac{1}{3}}}{6})$

Passaggio 2.2.13

Moltiplica $x^{- \frac{5}{6}}$ per $x^{- \frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.13.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$0 - \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{6} - \frac{1}{3}}}{6})$

Passaggio 2.2.13.2

Per scrivere $- \frac{1}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$0 - \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}}}{6})$

Passaggio 2.2.13.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.2.13.3.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$0 - \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}}}{6})$

Passaggio 2.2.13.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$0 - \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{6} - \frac{2}{6}}}{6})$

Passaggio 2.2.13.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 - \frac{10}{3} (- \frac{x^{\frac{- 5 - 2}{6}}}{6})$

Passaggio 2.2.13.5

Sottrai $2$ da $- 5$ .

$0 - \frac{10}{3} (- \frac{x^{\frac{- 7}{6}}}{6})$

Passaggio 2.2.13.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{7}{6}}}{6})$

Passaggio 2.2.14

Sposta $x^{- \frac{7}{6}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{10}{3} (- \frac{1}{6 x^{\frac{7}{6}}})$

Passaggio 2.2.15

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{10}{3}) \frac{1}{6 x^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 2.2.16

Moltiplica $\frac{10}{3}$ per $1$ .

$0 + \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{6 x^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 2.2.17

Moltiplica $\frac{10}{3}$ per $\frac{1}{6 x^{\frac{7}{6}}}$ .

$0 + \frac{10}{3 (6 x^{\frac{7}{6}})}$

Passaggio 2.2.18

Moltiplica $6$ per $3$ .

$0 + \frac{10}{18 x^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 2.2.19

Scomponi $2$ da $10$ .

$0 + \frac{2 (5)}{18 x^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 2.2.20

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.20.1

Scomponi $2$ da $18 x^{\frac{7}{6}}$ .

$0 + \frac{2 (5)}{2 (9 x^{\frac{7}{6}})}$

Passaggio 2.2.20.2

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{2 \cdot 5}{2 (9 x^{\frac{7}{6}})}$

Passaggio 2.2.20.3

Riscrivi l'espressione.

$0 + \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $\frac{5}{9}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{6}}}]$ .

$\frac{5}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{6}}}]$

Passaggio 3.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{7}{6}}}$ come ${(x^{\frac{7}{6}})}^{- 1}$ .

$\frac{5}{9} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{7}{6}})}^{- 1}]$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{7}{6}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{6} \cdot - 1}]$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $\frac{7}{6} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

$\frac{7}{6}$ e $- 1$ .

$\frac{5}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7 \cdot - 1}{6}}]$

Passaggio 3.2.2.2.2

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$\frac{5}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 7}{6}}]$

Passaggio 3.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{5}{9} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{7}{6}}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{7}{6}$ .

$\frac{5}{9} (- \frac{7}{6} x^{- \frac{7}{6} - 1})$

Passaggio 3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{9} (- \frac{7}{6} x^{- \frac{7}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}})$

Passaggio 3.5

$- 1$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{9} (- \frac{7}{6} x^{- \frac{7}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}})$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5}{9} (- \frac{7}{6} x^{\frac{- 7 - 1 \cdot 6}{6}})$

Passaggio 3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{5}{9} (- \frac{7}{6} x^{\frac{- 7 - 6}{6}})$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $6$ da $- 7$ .

$\frac{5}{9} (- \frac{7}{6} x^{\frac{- 13}{6}})$

Passaggio 3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{5}{9} (- \frac{7}{6} x^{- \frac{13}{6}})$

Passaggio 3.9

$x^{- \frac{13}{6}}$ e $\frac{7}{6}$ .

$\frac{5}{9} (- \frac{x^{- \frac{13}{6}} \cdot 7}{6})$

Passaggio 3.10

Moltiplica $\frac{5}{9}$ per $\frac{x^{- \frac{13}{6}} \cdot 7}{6}$ .

$- \frac{5 (x^{- \frac{13}{6}} \cdot 7)}{9 \cdot 6}$

Passaggio 3.11

Moltiplica.

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Passaggio 3.11.1

Moltiplica $7$ per $5$ .

$- \frac{35 x^{- \frac{13}{6}}}{9 \cdot 6}$

Passaggio 3.11.2

Moltiplica $9$ per $6$ .

$- \frac{35 x^{- \frac{13}{6}}}{54}$

Passaggio 3.11.3

Sposta $x^{- \frac{13}{6}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}$