Calcolo Esempi

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{x^{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{x^{2}} d x$

Passaggio 4

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 4) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 4) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 4) x^{- 2} d x$

Passaggio 6

Espandi $(x^{3} + 2 x^{2} - 4) x^{- 2}$ .

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (x^{3} + 2 x^{2}) x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int x^{3} x^{- 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{3 - 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.4

Sottrai $2$ da $3$ .

$\int x^{1} + 2 x^{2} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$\int x + 2 x^{2} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x + 2 x^{2 - 2} - 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.7

Sottrai $2$ da $2$ .

$\int x + 2 x^{0} - 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.8

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\int x + 2 \cdot 1 - 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.9

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\int x + 2 - 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.10

Sposta $2$ .

$\int x - 4 x^{- 2} + 2 d x$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x d x + \int - 4 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 4 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Passaggio 9

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 4 \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 4 (- x^{- 1} + C) + \int 2 d x$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 4 (- x^{- 1} + C) + 2 x + C$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{4}{x} + 2 x + C$

Passaggio 12.2

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{4}{x} + 2 x + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{4}{x} + 2 x + C$