Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{9 + 2 e^{5 x}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

Passaggio 1.2

Poiché la funzione $e^{x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $3$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

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Passaggio 1.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $3$ rimosso.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

Passaggio 1.2.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} 2 e^{5 x}}$

Passaggio 1.3.1.2

Calcola il limite di $9$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{9 + lim_{x \to \infty} 2 e^{5 x}}$

Passaggio 1.3.2

Poiché la funzione $e^{5 x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $2$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $2$ rimosso.

$\frac{\infty}{9 + lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Passaggio 1.3.2.2

Poiché l'esponente $5 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{5 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{9 + \infty}$

Passaggio 1.3.3

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.3.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{9 + 2 e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Passaggio 3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 + 2 e^{5 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]}$

Passaggio 3.5

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]}$

Passaggio 3.6

Calcola $\frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]$ .

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Passaggio 3.6.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{5 x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Passaggio 3.6.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

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Passaggio 3.6.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])}$

Passaggio 3.6.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])}$

Passaggio 3.6.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}$

Passaggio 3.6.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))}$

Passaggio 3.6.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} (5 \cdot 1))}$

Passaggio 3.6.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} \cdot 5)}$

Passaggio 3.6.6

Sposta $5$ alla sinistra di $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (5 e^{5 x})}$

Passaggio 3.6.7

Moltiplica $5$ per $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 10 e^{5 x}}$

Passaggio 3.7

Somma $0$ e $10 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{10 e^{5 x}}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ e $e^{5 x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Scomponi $e^{5 x}$ da $3 e^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{10 e^{5 x}}$

Passaggio 4.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.1.2.1

Scomponi $e^{5 x}$ da $10 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{e^{5 x} \cdot 10}$

Passaggio 4.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{e^{5 x} \cdot 10}$

Passaggio 4.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{- 4 x}}{10}$

Passaggio 4.2

Sposta il termine $\frac{3}{10}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3}{10} lim_{x \to \infty} e^{- 4 x}$

Passaggio 5

Poiché l'esponente $- 4 x$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{- 4 x}$ tende a $0$ .

$\frac{3}{10} \cdot 0$

Passaggio 6

Moltiplica $\frac{3}{10}$ per $0$ .

$0$