Calcolo Esempi

$y = x^{\frac{6}{7}} + 2 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{6}{7}} + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{6}{7}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.3

$- 1$ e $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 7}{7}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $7$ da $6$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{- 1}{7}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + 2 \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + 2$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{7}}} + 2$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $\frac{6}{7}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}}$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + 2$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{6}{7}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{6}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}}]$ .

$\frac{6}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}}$ come ${(x^{\frac{1}{7}})}^{- 1}$ .

$\frac{6}{7} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{7}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{7}}$ .

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Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{7}}$ .

$\frac{6}{7} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{6}{7} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{7}}$ .

$\frac{6}{7} (- {(x^{\frac{1}{7}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{7}$ .

$\frac{6}{7} (- {(x^{\frac{1}{7}})}^{- 2} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1})) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{7}})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{7} (- x^{\frac{1}{7} \cdot - 2} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1})) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.5.2

$\frac{1}{7}$ e $- 2$ .

$\frac{6}{7} (- x^{\frac{- 2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1})) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{6}{7} (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1})) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.7

$- 1$ e $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{6}{7} (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 1 \cdot 7}{7}})) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$\frac{6}{7} (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 7}{7}})) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.9.2

Sottrai $7$ da $1$ .

$\frac{6}{7} (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{- 6}{7}})) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{6}{7} (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}})) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.11

$\frac{1}{7}$ e $x^{- \frac{6}{7}}$ .

$\frac{6}{7} (- x^{- \frac{2}{7}} \frac{x^{- \frac{6}{7}}}{7}) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.12

$\frac{x^{- \frac{6}{7}}}{7}$ e $x^{- \frac{2}{7}}$ .

$\frac{6}{7} (- \frac{x^{- \frac{6}{7}} x^{- \frac{2}{7}}}{7}) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.13

Moltiplica $x^{- \frac{6}{7}}$ per $x^{- \frac{2}{7}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.13.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6}{7} (- \frac{x^{- \frac{6}{7} - \frac{2}{7}}}{7}) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.13.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{6}{7} (- \frac{x^{\frac{- 6 - 2}{7}}}{7}) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.13.3

Sottrai $2$ da $- 6$ .

$\frac{6}{7} (- \frac{x^{\frac{- 8}{7}}}{7}) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.13.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{6}{7} (- \frac{x^{- \frac{8}{7}}}{7}) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.14

Sposta $x^{- \frac{8}{7}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{7} (- \frac{1}{7 x^{\frac{8}{7}}}) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.15

Moltiplica $\frac{6}{7}$ per $\frac{1}{7 x^{\frac{8}{7}}}$ .

$- \frac{6}{7 (7 x^{\frac{8}{7}})} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.16

Moltiplica $7$ per $7$ .

$- \frac{6}{49 x^{\frac{8}{7}}} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{6}{49 x^{\frac{8}{7}}} + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $- \frac{6}{49 x^{\frac{8}{7}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{49 x^{\frac{8}{7}}}$