Calcolo Esempi

$y = 3 x \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x \ln (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 1.4.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$3 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 1.4.4

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$3 (1 + \ln (x))$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 \cdot 1 + 3 \ln (x)$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + 3 \ln (x)$

Passaggio 1.5.3

Riordina i termini.

$f' (x) = 3 \ln (x) + 3$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 \ln (x) + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.2.3

$3$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3}{x} + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $\frac{3}{x}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{x}$