Calcolo Esempi

$f (x) = 3 e^{- x^{4}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{- x^{4}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{- x^{4}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{- x^{4}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{4}$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x^{4}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{4}])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{4}])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{4}$ .

$3 (e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [- x^{4}])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 3 e^{- x^{4}} (4 x^{3})$

Passaggio 1.3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.4.1

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$- 12 e^{- x^{4}} x^{3}$

Passaggio 1.3.4.2

Riordina i fattori in $- 12 e^{- x^{4}} x^{3}$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} e^{- x^{4}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{3} e^{- x^{4}}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{4}}]$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{4}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = e^{- x^{4}}$ .

$- 12 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x^{4}}] + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{4}$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x^{4}$ .

$- 12 (x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{4}]) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 12 (x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{4}]) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{4}$ .

$- 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [- x^{4}]) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.4

Differenzia.

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Passaggio 2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{4}])) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- (4 x^{3}))) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- 4 x^{3})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.5

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.5.1

Sposta $x^{3}$ .

$- 12 (x^{3} x^{3} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 12 (x^{3 + 3} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.5.3

Somma $3$ e $3$ .

$- 12 (x^{6} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.6

Sposta $- 4$ alla sinistra di $e^{- x^{4}}$ .

$- 12 (x^{6} (- 4 \cdot e^{- x^{4}}) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 12 (x^{6} (- 4 e^{- x^{4}}) + e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

Passaggio 2.8

Semplifica.

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Passaggio 2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 12 (x^{6} (- 4 e^{- x^{4}})) - 12 (e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

Passaggio 2.8.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.8.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 12$ .

$48 (x^{6} (e^{- x^{4}})) - 12 (e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

Passaggio 2.8.2.2

Moltiplica $3$ per $- 12$ .

$48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$

Passaggio 2.8.3

Riordina i termini.

$48 e^{- x^{4}} x^{6} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$

Passaggio 2.8.4

Riordina i fattori in $48 e^{- x^{4}} x^{6} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$ .

$f'' (x) = 48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 x^{2} e^{- x^{4}}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 x^{2} e^{- x^{4}}$ .

$48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 x^{2} e^{- x^{4}}$