Calcolo Esempi

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ , $[0, π]$

Passaggio 1

Se $f$ è continua sull'intervallo $[a, b]$ e differenziabile su $(a, b)$ , allora esiste almeno un numero reale $c$ nell'intervallo $(a, b)$ tale che $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Il teorema di Lagrange esprime la relazione tra il coefficiente angolare della tangente alla curva con $x = c$ e il coefficiente angolare della retta passante per i punti $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Quando $f (x)$ è continua su $[a, b]$

e se $f (x)$ differenziabile su $(a, b)$ ,

quindi esiste almeno un punto, $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2.2

$f (x)$ è continua su $[0, π]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \sin (x) + \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 3.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 3.1.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.1.3.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$2 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.1.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 3.1.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Passaggio 3.1.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Passaggio 3.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Passaggio 4

Definisci se la derivata è continua su $(0, π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4.2

$f' (x)$ è continua su $(0, π)$ .

La funzione è continua.

Passaggio 5

La funzione è differenziabile su $(0, π)$ perché la derivata è continua su $(0, π)$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 6

$f (x)$ soddisfa le due condizioni del teorema del valor medio. È continua su $[0, π]$ e differenziabile su $(0, π)$ .

$f (x)$ è continua su $[0, π]$ e differenziabile su $(0, π)$ .

Passaggio 7

Calcola $f (a)$ dall'intervallo $[0, π]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 2 \sin (0) + \sin (2 (0))$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 + \sin (2 (0))$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (0) = 0 + \sin (2 (0))$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (0) = 0 + \sin (0)$

Passaggio 7.2.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 7.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 8

Risolvi $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ per $x$ . $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (π) + f (0))}{- (π + 0)}$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Usa l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 \cos (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica $\frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0 + 0}{π - (0)}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Somma $0$ e $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π - (0)}$

Passaggio 8.3.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π + 0}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Somma $π$ e $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π}$

Passaggio 8.3.1.3

Dividi $0$ per $π$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 8.4

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Sostituisci $- 4 \sin^{2} (x)$ con $- 4 (1 - \cos^{2} (x))$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 8.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cos (x) + 2 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 8.4.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 8.4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 8.4.3

Sottrai $4$ da $2$ .

$2 \cos (x) - 2 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 8.4.4

Riordina il polinomio.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 = 0$

Passaggio 8.4.5

Sostituisci $u$ a $\cos (x)$ .

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 2 = 0$

Passaggio 8.4.6

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.6.1

Scomponi $2$ da $4 u^{2} + 2 u - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.6.1.1

Scomponi $2$ da $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

Passaggio 8.4.6.1.2

Scomponi $2$ da $2 u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

Passaggio 8.4.6.1.3

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 (- 1) = 0$

Passaggio 8.4.6.1.4

Scomponi $2$ da $2 (2 u^{2}) + 2 u$ .

$2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1) = 0$

Passaggio 8.4.6.1.5

Scomponi $2$ da $2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Passaggio 8.4.6.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.6.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.6.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.6.2.1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$2 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Passaggio 8.4.6.2.1.1.2

Riscrivi $1$ come $- 1$ più $2$ .

$2 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Passaggio 8.4.6.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Passaggio 8.4.6.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.6.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Passaggio 8.4.6.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Passaggio 8.4.6.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u - 1$ .

$2 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Passaggio 8.4.6.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Passaggio 8.4.7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Passaggio 8.4.8

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.8.1

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Passaggio 8.4.8.2

Risolvi $2 u - 1 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.8.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 u = 1$

Passaggio 8.4.8.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.8.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 8.4.8.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.8.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.8.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 8.4.8.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Passaggio 8.4.9

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.9.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 8.4.9.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 8.4.10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ vera.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Passaggio 8.4.11

Sostituisci $\cos (x)$ a $u$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Passaggio 8.4.12

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 1$

Passaggio 8.4.13

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.13.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 8.4.13.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.13.2.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 8.4.13.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 8.4.13.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.13.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 8.4.13.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.13.4.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 8.4.13.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 8.4.13.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.13.4.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 8.4.13.4.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 8.4.13.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.13.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 8.4.13.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 8.4.13.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 8.4.13.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 8.4.13.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8.4.14

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.14.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- 1)$

Passaggio 8.4.14.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.14.2.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$x = π$

Passaggio 8.4.14.3

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - π$

Passaggio 8.4.14.4

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = π$

Passaggio 8.4.14.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.14.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 8.4.14.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 8.4.14.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 8.4.14.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 8.4.14.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8.4.15

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8.4.16

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

C'è una tangente che si trova con $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = π$ .

C'è una tangente con $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = π$

Passaggio 10