Calcolo Esempi

$f (t) = \frac{\sqrt[3]{t}}{t - 3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = \sqrt[3]{t}$ e $g (t) = t - 3$ .

$\frac{(t - 3) \frac{d}{d t} [\sqrt[3]{t}] - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{t}$ come $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{(t - 3) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}] - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $t - 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} (1 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 11

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} (1 + 0)}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 12

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

$t$ e $\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{t}{3 t^{\frac{2}{3}}} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.2.2

Sposta $t^{\frac{2}{3}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{t \cdot t^{- \frac{2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3

Moltiplica $t$ per $t^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1

Moltiplica $t$ per $t^{- \frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{t^{1} t^{- \frac{2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{t^{1 - \frac{2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\frac{t^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{t^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3.4

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.2.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.4.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 \cdot - 1 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 \cdot - 1 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - 1 \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.2.5

Riscrivi $- 1 \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ come $- \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t}}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Moltiplica $\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t}}{{(t - 3)}^{2}}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t}}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.3.2

Combina.

$\frac{3 (\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 (- \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}) + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.3.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 (- \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}) + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{t^{\frac{1}{3}} + 3 (- \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}) + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.3.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{t^{\frac{1}{3}} - 3 \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.3.6

$- 3$ e $\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3}{t^{\frac{2}{3}}} + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{t^{\frac{1}{3}} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.3.8

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{t^{\frac{1}{3}} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Per scrivere $t^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.3.1

Moltiplica $t^{\frac{1}{3}}$ per $t^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.3.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.4.3.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{t^{\frac{1 + 2}{3}} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.4.3.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{3}{3}} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.4.3.1.4

Dividi $3$ per $3$ .

$\frac{\frac{t^{1} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.4.3.2

Semplifica $t^{1}$ .

$\frac{\frac{t - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.4.4

Per scrivere $- 3 \sqrt[3]{t}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{t - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t} \cdot \frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.4.5

$- 3 \sqrt[3]{t}$ e $\frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{t - 3}{t^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 3 \sqrt[3]{t} t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 \sqrt[3]{t} t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.4.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.7.1

Moltiplica $- 3 \sqrt[3]{t} t^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.7.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{t}$ come $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\frac{t - 3 - 3 (t^{\frac{2}{3}} t^{\frac{1}{3}})}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.4.7.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.4.7.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{\frac{2 + 1}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.4.7.1.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{\frac{3}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.4.7.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.7.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{\frac{3}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.4.7.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{1}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.4.7.2

Semplifica.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.4.7.3

Sottrai $3 t$ da $t$ .

$\frac{\frac{- 2 t - 3}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{- 2 t - 3}{t^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.6

Moltiplica $\frac{- 2 t - 3}{t^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{1}{3 {(t - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 t - 3}{t^{\frac{2}{3}} (3 {(t - 3)}^{2})}$

Passaggio 13.7

Sposta $3$ alla sinistra di $t^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- 2 t - 3}{3 \cdot t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.8

Scomponi $- 1$ da $- 2 t$ .

$\frac{- (2 t) - 3}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.9

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$\frac{- (2 t) - 1 (3)}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.10

Scomponi $- 1$ da $- (2 t) - 1 (3)$ .

$\frac{- (2 t + 3)}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.11

Riscrivi $- (2 t + 3)$ come $- 1 (2 t + 3)$ .

$\frac{- 1 (2 t + 3)}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 t + 3}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$