Calcolo Esempi

$- \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$

Passaggio 1

Scrivi $- \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$ come funzione.

$f (x) = - \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x + 5}$ come ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{81}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.1.1.1.2

Poiché $- 81$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{81}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $- 81 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$- 81 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.1.1.1.3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.3.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}$ come ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$- 81 \frac{d}{d x} [{({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.1.1.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 81 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Passaggio 2.1.1.1.3.2.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$- 81 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Passaggio 2.1.1.1.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 81 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- \frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ e $g (x) = x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 5$ .

$- 81 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{3}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 5$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.1.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.1.6.2

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.1.8

${(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- 81 (- \frac{{(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.1.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.9.1

Sposta ${(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.1.9.2

Moltiplica $- 1$ per $- 81$ .

$81 (\frac{1}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.1.10

$\frac{1}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ e $81$ .

$\frac{81}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 2.1.1.11

Scomponi $3$ da $81$ .

$\frac{3 \cdot 27}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 2.1.1.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.12.1

Scomponi $3$ da $3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 27}{3 ({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 2.1.1.12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 27}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 2.1.1.12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 2.1.1.13

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 2.1.1.14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 2.1.1.15

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} (1 + 0)$

Passaggio 2.1.1.16

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.16.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

Passaggio 2.1.1.16.2

Moltiplica $\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ rispetto a $x$ è $27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}]$ .

$27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}]$

Passaggio 2.1.2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ come ${({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

$27 \frac{d}{d x} [{({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{4}{3} \cdot - 1}]$

Passaggio 2.1.2.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.2.2.2.1

$\frac{4}{3}$ e $- 1$ .

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{4 \cdot - 1}{3}}]$

Passaggio 2.1.2.1.2.2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{- 4}{3}}]$

Passaggio 2.1.2.1.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{4}{3}}$ e $g (x) = x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 5$ .

$27 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{4}{3}$ .

$27 (- \frac{4}{3} u^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 5$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.2.6.2

Sottrai $3$ da $- 4$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 7}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{7}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.2.8

${(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}$ e $\frac{4}{3}$ .

$27 (- \frac{{(x + 5)}^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.2.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.1

Sposta $4$ alla sinistra di ${(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}$ .

$27 (- \frac{4 \cdot {(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.2.9.2

Sposta ${(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$27 (- \frac{4}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.2.9.3

Moltiplica $- 1$ per $27$ .

$- 27 (\frac{4}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 2.1.2.10

$\frac{4}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$ e $- 27$ .

$\frac{4 \cdot - 27}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 2.1.2.11

Moltiplica $4$ per $- 27$ .

$\frac{- 108}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 2.1.2.12

Scomponi $3$ da $- 108$ .

$\frac{3 \cdot - 36}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 2.1.2.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.13.1

Scomponi $3$ da $3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 36}{3 ({(x + 5)}^{\frac{7}{3}})} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 2.1.2.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 36}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 2.1.2.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 2.1.2.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 2.1.2.15

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 2.1.2.16

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 2.1.2.17

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} (1 + 0)$

Passaggio 2.1.2.18

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.18.1

Somma $1$ e $0$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \cdot 1$

Passaggio 2.1.2.18.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} = 0$

Passaggio 2.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$36 = 0$

Passaggio 2.2.3

Poiché $36 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Trova il dominio di $f (x) = - \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt[3]{x + 5} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{x + 5}}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x + 5}$ come ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Semplifica ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 3.2.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 3.2.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x + 5)}^{1} = 0^{3}$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Semplifica.

$x + 5 = 0^{3}$

Passaggio 3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 3.2.3

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq - 5}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq - 5}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 5)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 8$ nell'espressione.

$f'' (- 8) = - \frac{36}{{((- 8) + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma $- 8$ e $5$ .

$f'' (- 8) = - \frac{36}{{(- 3)}^{\frac{7}{3}}}$

Passaggio 5.2.2

La risposta finale è $- \frac{36}{{(- 3)}^{\frac{7}{3}}}$ .

$- \frac{36}{{(- 3)}^{\frac{7}{3}}}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, - 5)$ perché $f'' (- 8)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, - 5)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 5, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - \frac{36}{{((0) + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma $0$ e $5$ .

$f'' (0) = - \frac{36}{5^{\frac{7}{3}}}$

Passaggio 6.2.2

La risposta finale è $- \frac{36}{5^{\frac{7}{3}}}$ .

$- \frac{36}{5^{\frac{7}{3}}}$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- 5, \infty)$ perché $f'' (0)$ è negativo.

Funzione concava su $(- 5, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, - 5)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(- 5, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 8