Calcolo Esempi

$r^{2} \cos (2 θ) = 1$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica $r^{2} \cos (2 θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 1$

Passaggio 1.1.2

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ)) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

Passaggio 1.1.2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

Passaggio 1.1.2.2.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $r^{2}$ .

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - 1 \cdot r^{2} = 1$

Passaggio 1.1.3

Riscrivi $- 1 r^{2}$ come $- r^{2}$ .

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} = 1$

Passaggio 2

Poiché $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ , sostituisci $\cos (θ)$ con $\frac{x}{r}$ .

$2 r^{2} {(\frac{x}{r})}^{2} - r^{2} = 1$

Passaggio 3

Poiché $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , sostituisci $r^{2}$ con $x^{2} + y^{2}$ e $r$ con $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4

Scrivi in forma standard.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Semplifica $2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.2

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1.3.1

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.3.2

Eleva $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.3.3

Eleva $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.3.6

Riscrivi ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ come $x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ come ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.3.6.5

Semplifica.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.4

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 4.1.1.1.4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{{(x \sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.4.2

Applica la regola del prodotto a $x \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.5

Riscrivi ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ come $x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ come ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.5.5

Semplifica.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.6

Elimina il fattore comune di $x^{2} + y^{2}$ e ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1.6.1

Scomponi $x^{2} + y^{2}$ da $x^{2} (x^{2} + y^{2})$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1.6.2.1

Scomponi $x^{2} + y^{2}$ da ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.7

Moltiplica $2 x^{2} + 2 y^{2}$ per $\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.8

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 2 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1.8.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.8.2

Scomponi $2$ da $2 y^{2}$ .

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 (y^{2})) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.8.3

Scomponi $2$ da $2 (x^{2}) + 2 (y^{2})$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.9

Elimina il fattore comune di $x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1.9.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.9.2

Dividi $2 x^{2}$ per $1$ .

$2 x^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Passaggio 4.1.1.1.10

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} - x^{2} - y^{2} = 1$

Passaggio 4.1.1.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$x^{2} - y^{2} = 1$

Passaggio 4.1.2

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y^{2} = 1 - x^{2}$

Passaggio 4.1.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y^{2} = 1 - x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y^{2} = 1 - x^{2}$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Passaggio 4.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Passaggio 4.1.3.2.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Passaggio 4.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$y^{2} = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Passaggio 4.1.3.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y^{2} = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

Passaggio 4.1.3.3.1.3

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = - 1 + x^{2}$

Passaggio 4.1.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$

Passaggio 4.1.5

Semplifica $\pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1^{2} + x^{2}}$

Passaggio 4.1.5.1.2

Riordina $- 1^{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 4.1.5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 4.1.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 4.1.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 4.1.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 4.2

Per scrivere un polinomio in forma standard, semplifica e quindi disponi i termini in ordine decrescente.

$y = a x^{2} + b x + c$

Passaggio 4.3

La forma standard è $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}, - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5