Calcolo Esempi

$f (x) = \sin (x) \cos (x) + 9$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) \cos (x) + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.4

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.5

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.7

Somma $1$ e $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.8

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.9

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.11

Somma $1$ e $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.3

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 0$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Somma $- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ e $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Passaggio 1.1.4.2

Riordina $- \sin^{2} (x)$ e $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Passaggio 1.1.4.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 1.1.4.4

Espandi $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 1.1.4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 1.1.4.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.4.5

Combina i termini opposti in $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.5.1

Riordina i fattori nei termini di $\cos (x) (- \sin (x))$ e $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.4.5.2

Somma $- \cos (x) \sin (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.4.5.3

Somma $\cos (x) \cos (x)$ e $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.4.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.6.1

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.6.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.4.6.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.4.6.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.4.6.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.4.6.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Passaggio 1.1.4.6.3

Moltiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.6.3.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Passaggio 1.1.4.6.3.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Passaggio 1.1.4.6.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 1.1.4.6.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Passaggio 1.1.4.7

Applica l'identità a doppio angolo per il coseno.

$f' (x) = \cos (2 x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (2 x)$ .

$\cos (2 x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\cos (2 x) = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\cos (2 x) = 0$

Passaggio 2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arccos (0)$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.6.1.2

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.6.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 2.6.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 2.6.1.5

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.6.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{3 π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{3 π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 2.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 2.6.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 2.6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 2.6.2.3.2

Moltiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{3 π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.6.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.7

Trova il periodo di $\cos (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.7.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 2.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 2.7.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.8

Il periodo della funzione $\cos (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.9

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Passaggio 4

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = \cos (2 x)$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \sin (x) \cos (x) + 9$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1$ nell'espressione.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1))$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{4}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Passaggio 5.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Passaggio 5.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Passaggio 5.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2 \cdot - 1)$

Passaggio 5.2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1$ la derivata è $\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1$ nell'espressione.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1))$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{4}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Passaggio 6.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Passaggio 6.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Passaggio 6.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Passaggio 6.2.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Passaggio 6.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2 \cdot 1)$

Passaggio 6.2.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1$ la derivata è $\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$

Passaggio 8