Calcolo Esempi

$f (x, y) = x^{2} + y^{2} - x y + 10 x - 2 y + 5$

Passaggio 1

Scrivi $f (x, y) - x^{2} - y^{2} + x y - 10 x + 2 y - 5 = 0$ come funzione.

$f (x) = f (x, y) - x^{2} - y^{2} + x y - 10 x + 2 y - 5$

Passaggio 2

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$f (x, y) - x^{2} = y^{2} - x y + 10 x - 2 y + 5$

Passaggio 2.2

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$f (x, y) - x^{2} - y^{2} = - x y + 10 x - 2 y + 5$

Passaggio 2.3

Somma $x y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$f (x, y) - x^{2} - y^{2} + x y = 10 x - 2 y + 5$

Passaggio 2.4

Sottrai $10 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$f (x, y) - x^{2} - y^{2} + x y - 10 x = - 2 y + 5$

Passaggio 2.5

Somma $2 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$f (x, y) - x^{2} - y^{2} + x y - 10 x + 2 y = 5$

Passaggio 2.6

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$f (x, y) - x^{2} - y^{2} + x y - 10 x + 2 y - 5 = 0$

Passaggio 3

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $f (x, y) - x^{2} - y^{2} + x y - 10 x + 2 y - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.2

Moltiplica $f$ per ogni elemento della matrice.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.4

Poiché $- y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.6

Calcola $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 x$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.6.3

Moltiplica $- 10$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y - 10 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y - 10 + 0 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.7.2

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y - 10 + 0 + 0$

Passaggio 3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Somma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + y - 10 + 0 + 0$

Passaggio 3.8.1.2

Somma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + y - 10$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + y - 10 + 0$

Passaggio 3.8.1.3

Somma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + y - 10$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + y - 10$

Passaggio 3.8.2

Riordina i termini.

$- 2 x + y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 10$

Passaggio 4

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x + y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Passaggio 4.3

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Passaggio 4.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Elimina il fattore comune di $d$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Passaggio 4.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per ogni elemento della matrice.

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Passaggio 4.4.3

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1.1

Scomponi $x$ da $f x$ .

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Passaggio 4.4.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Passaggio 4.4.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Passaggio 4.4.3.2

Moltiplica $\frac{1}{x} (f y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.2.1

$f$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Passaggio 4.4.3.2.2

$\frac{f}{x}$ e $y$ .

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Passaggio 4.5

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Passaggio 4.6

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Somma $- 2$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Passaggio 4.6.2

Somma $- 2 + \frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Passaggio 5

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 2 x + y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 10 = 0$

Passaggio 6

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $f$ per ogni elemento della matrice.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 6.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 6.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 6.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 6.1.4

Poiché $- y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 6.1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.5.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 6.1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 6.1.5.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 6.1.6

Calcola $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.6.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 x$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 6.1.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 6.1.6.3

Moltiplica $- 10$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y - 10 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 6.1.7

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.7.1

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y - 10 + 0 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 6.1.7.2

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y - 10 + 0 + 0$

Passaggio 6.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.8.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.8.1.1

Somma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + y - 10 + 0 + 0$

Passaggio 6.1.8.1.2

Somma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + y - 10$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + y - 10 + 0$

Passaggio 6.1.8.1.3

Somma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + y - 10$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + y - 10$

Passaggio 6.1.8.2

Riordina i termini.

$f' (x) = - 2 x + y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 10$

Passaggio 6.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 x + y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 10$ .

$- 2 x + y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 10$

Passaggio 7

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 2 x + y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 10 = 0$

Passaggio 8

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta il denominatore in $\frac{d}{d x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$d x = 0$

Passaggio 8.2

Dividi per $d$ ciascun termine in $d x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Dividi per $d$ ciascun termine in $d x = 0$ .

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $d$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{d}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Dividi $0$ per $d$ .

$x = 0$

Passaggio 9

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 + \frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $d$ per $0$ .

$- 2 + \frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

Passaggio 11.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 12

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 13