Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x)}{4 \sin (x)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Passaggio 1.2.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Passaggio 1.2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Passaggio 1.2.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{e^{0} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Passaggio 1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{e^{0} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Passaggio 1.2.5.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Passaggio 1.2.5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (0)}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0}$

Passaggio 1.3.3.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x)}{4 \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Passaggio 3.4.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Passaggio 3.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 3.6

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{4 \cos (x)}$

Passaggio 4

Sposta il termine $\frac{1}{4}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 7

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 8

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 9

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 10

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{0} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 10.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{0} + \sin (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 10.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{0} + \sin (0)}{\cos (0)}$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \sin (0)}{\cos (0)}$

Passaggio 11.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + 0}{\cos (0)}$

Passaggio 11.1.3

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Passaggio 11.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Passaggio 11.3

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Passaggio 11.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Passaggio 11.4

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$\frac{1}{4}$