Calcolo Esempi

$6 x^{5} - 15 x^{4} + 10 x^{3}$

Passaggio 1

Scrivi $6 x^{5} - 15 x^{4} + 10 x^{3}$ come funzione.

$f (x) = 6 x^{5} - 15 x^{4} + 10 x^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{5} - 15 x^{4} + 10 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{5}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $5$ per $6$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 15 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$30 x^{4} - 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$30 x^{4} - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 15$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Passaggio 2.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x^{3}$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + 10 (3 x^{2})$

Passaggio 2.1.4.3

Moltiplica $3$ per $10$ .

$f' (x) = 30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2}$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $30 x^{2}$ da $30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $30 x^{2}$ da $30 x^{4}$ .

$30 x^{2} (x^{2}) - 60 x^{3} + 30 x^{2} = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $30 x^{2}$ da $- 60 x^{3}$ .

$30 x^{2} (x^{2}) + 30 x^{2} (- 2 x) + 30 x^{2} = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi $30 x^{2}$ da $30 x^{2}$ .

$30 x^{2} (x^{2}) + 30 x^{2} (- 2 x) + 30 x^{2} (1) = 0$

Passaggio 3.2.1.4

Scomponi $30 x^{2}$ da $30 x^{2} (x^{2}) + 30 x^{2} (- 2 x)$ .

$30 x^{2} (x^{2} - 2 x) + 30 x^{2} (1) = 0$

Passaggio 3.2.1.5

Scomponi $30 x^{2}$ da $30 x^{2} (x^{2} - 2 x) + 30 x^{2} (1)$ .

$30 x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$30 x^{2} (x^{2} - 2 x + 1^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$30 x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$30 x^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta ${(x - 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta ${(x - 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi ${(x - 1)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 3.5.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $30 x^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ vera.

$x = 0, 1$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, 1$ .

$0, 1$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = 30 {(- 1)}^{4} - 60 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 1) = 30 \cdot 1 - 60 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $30$ per $1$ .

$f' (- 1) = 30 - 60 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = 30 - 60 \cdot - 1 + 30 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 60$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = 30 + 60 + 30 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = 30 + 60 + 30 \cdot 1$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica $30$ per $1$ .

$f' (- 1) = 30 + 60 + 30$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $30$ e $60$ .

$f' (- 1) = 90 + 30$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $90$ e $30$ .

$f' (- 1) = 120$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $120$ .

$120$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $120$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, 0)$ .

Crescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{1}{2}) = 30 {(\frac{1}{2})}^{4} - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 30 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (\frac{1}{2}) = 30 (\frac{1}{2^{4}}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 30 (\frac{1}{16}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $30$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (15) (\frac{1}{16}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.4.2

Scomponi $2$ da $16$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (15 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (15 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{8}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.5

$15$ e $\frac{1}{8}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 60 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 60 \frac{1}{2^{3}} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.8

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 60 (\frac{1}{8}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.9

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.9.1

Scomponi $4$ da $- 60$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + 4 (- 15) (\frac{1}{8}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.9.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + 4 \cdot (- 15 \frac{1}{4 \cdot 2}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.9.3

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + 4 \cdot (- 15 \frac{1}{4 \cdot 2}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.9.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 15 (\frac{1}{2}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.10

$- 15$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + \frac{- 15}{2} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.12

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 30 (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

Passaggio 7.2.1.13

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 30 (\frac{1}{2^{2}})$

Passaggio 7.2.1.14

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 30 (\frac{1}{4})$

Passaggio 7.2.1.15

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.15.1

Scomponi $2$ da $30$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 2 (15) (\frac{1}{4})$

Passaggio 7.2.1.15.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 2 \cdot (15 (\frac{1}{2 \cdot 2}))$

Passaggio 7.2.1.15.3

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 2 \cdot (15 (\frac{1}{2 \cdot 2}))$

Passaggio 7.2.1.15.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 15 (\frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.16

$15$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + \frac{15}{2}$

Passaggio 7.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + \frac{- 15 + 15}{2}$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Somma $- 15$ e $15$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + \frac{0}{2}$

Passaggio 7.2.2.2.2

Dividi $0$ per $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + 0$

Passaggio 7.2.2.2.3

Somma $\frac{15}{8}$ e $0$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8}$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $\frac{15}{8}$ .

$\frac{15}{8}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = \frac{1}{2}$ la derivata è $\frac{15}{8}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, 1)$ .

Crescente su $(0, 1)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 30 {(2)}^{4} - 60 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f' (2) = 30 \cdot 16 - 60 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $30$ per $16$ .

$f' (2) = 480 - 60 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (2) = 480 - 60 \cdot 8 + 30 {(2)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $- 60$ per $8$ .

$f' (2) = 480 - 480 + 30 {(2)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = 480 - 480 + 30 \cdot 4$

Passaggio 8.2.1.6

Moltiplica $30$ per $4$ .

$f' (2) = 480 - 480 + 120$

Passaggio 8.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Sottrai $480$ da $480$ .

$f' (2) = 0 + 120$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $0$ e $120$ .

$f' (2) = 120$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $120$ .

$120$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $120$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(1, \infty)$ .

Crescente su $(1, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, 0), (0, 1), (1, \infty)$

Passaggio 10