Calcolo Esempi

$4 \cos (\frac{1}{4} π x)$

Passaggio 1

Scrivi $4 \cos (\frac{1}{4} π x)$ come funzione.

$f (x) = 4 \cos (\frac{1}{4} π x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 4 \cos (\frac{1}{4} \cdot (π x)) d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

$π$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int 4 \cos (\frac{π}{4} \cdot x) d x$

Passaggio 4.2

$\frac{π}{4}$ e $x$ .

$\int 4 \cos (\frac{π x}{4}) d x$

Passaggio 5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \cos (\frac{π x}{4}) d x$

Passaggio 6

Sia $u = \frac{π x}{4}$ . Allora $d u = \frac{π}{4} d x$ , quindi $\frac{4}{π} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = \frac{π x}{4}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $\frac{π x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $\frac{π}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{π x}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{π}{4} \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $1$ .

$\frac{π}{4}$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$4 \int \cos (u) \frac{1}{\frac{π}{4}} d u$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{π}{4}$ .

$4 \int \cos (u) (1 \frac{4}{π}) d u$

Passaggio 7.2

Moltiplica $\frac{4}{π}$ per $1$ .

$4 \int \cos (u) \frac{4}{π} d u$

Passaggio 7.3

$\cos (u)$ e $\frac{4}{π}$ .

$4 \int \frac{\cos (u) \cdot 4}{π} d u$

Passaggio 7.4

Sposta $4$ alla sinistra di $\cos (u)$ .

$4 \int \frac{4 \cos (u)}{π} d u$

Passaggio 8

Poiché $\frac{4}{π}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{4}{π}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{4}{π} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

$\frac{4}{π}$ e $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{π} \int \cos (u) d u$

Passaggio 9.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{16}{π} \int \cos (u) d u$

Passaggio 10

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{16}{π} (\sin (u) + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

$\frac{16}{π} \sin (u) + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{π x}{4}$ .

$\frac{16}{π} \sin (\frac{π x}{4}) + C$

Passaggio 13

Riordina i termini.

$\frac{16}{π} \sin (\frac{π}{4} x) + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 4 \cos (\frac{1}{4} \cdot (π x))$ .

$F (x) =$ $\frac{16}{π} \sin (\frac{π}{4} x) + C$