Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{2} + \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x}{2} + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} - \sin (x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} - \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} - \sin (x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{1}{2} - \sin (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{1}{2} - \sin (x) = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $\frac{1}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \sin (x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = - \frac{1}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Passaggio 2.3.2.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\sin (x) = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Passaggio 2.3.3.2

Dividi $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 2.5

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 2.6

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 2.7

Semplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Passaggio 2.7.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 2.7.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 2.7.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 2.7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 2.7.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 2.8

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 2.8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.8.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.8.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.9

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\frac{x}{2} + \cos (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{π}{6}$ a $x$ .

$\frac{\frac{π}{6}}{2} + \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2} + \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $\frac{π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{6 \cdot 2} + \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{π}{12} + \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{13 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\frac{13 π}{6}$ a $x$ .

$\frac{\frac{13 π}{6}}{2} + \cos (\frac{13 π}{6})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{13 π}{6} \cdot \frac{1}{2} + \cos (\frac{13 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $\frac{13 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Moltiplica $\frac{13 π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{13 π}{6 \cdot 2} + \cos (\frac{13 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{13 π}{12} + \cos (\frac{13 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.3

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{13 π}{12} + \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.2.2.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{13 π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = \frac{25 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $\frac{25 π}{6}$ a $x$ .

$\frac{\frac{25 π}{6}}{2} + \cos (\frac{25 π}{6})$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{25 π}{6} \cdot \frac{1}{2} + \cos (\frac{25 π}{6})$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $\frac{25 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Moltiplica $\frac{25 π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25 π}{6 \cdot 2} + \cos (\frac{25 π}{6})$

Passaggio 4.3.2.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{25 π}{12} + \cos (\frac{25 π}{6})$

Passaggio 4.3.2.3

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{25 π}{12} + \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.3.2.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{25 π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.4

Calcola per $x = \frac{37 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci $\frac{37 π}{6}$ a $x$ .

$\frac{\frac{37 π}{6}}{2} + \cos (\frac{37 π}{6})$

Passaggio 4.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{37 π}{6} \cdot \frac{1}{2} + \cos (\frac{37 π}{6})$

Passaggio 4.4.2.2

Moltiplica $\frac{37 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.1

Moltiplica $\frac{37 π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{37 π}{6 \cdot 2} + \cos (\frac{37 π}{6})$

Passaggio 4.4.2.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{37 π}{12} + \cos (\frac{37 π}{6})$

Passaggio 4.4.2.3

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{37 π}{12} + \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.4.2.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{37 π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.5

Calcola per $x = \frac{49 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci $\frac{49 π}{6}$ a $x$ .

$\frac{\frac{49 π}{6}}{2} + \cos (\frac{49 π}{6})$

Passaggio 4.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{49 π}{6} \cdot \frac{1}{2} + \cos (\frac{49 π}{6})$

Passaggio 4.5.2.2

Moltiplica $\frac{49 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1

Moltiplica $\frac{49 π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{49 π}{6 \cdot 2} + \cos (\frac{49 π}{6})$

Passaggio 4.5.2.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{49 π}{12} + \cos (\frac{49 π}{6})$

Passaggio 4.5.2.3

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{49 π}{12} + \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.5.2.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{49 π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.6

Calcola per $x = \frac{5 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Sostituisci $\frac{5 π}{6}$ a $x$ .

$\frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \cos (\frac{5 π}{6})$

Passaggio 4.6.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2} + \cos (\frac{5 π}{6})$

Passaggio 4.6.2.2

Moltiplica $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5 π}{6 \cdot 2} + \cos (\frac{5 π}{6})$

Passaggio 4.6.2.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{5 π}{12} + \cos (\frac{5 π}{6})$

Passaggio 4.6.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{5 π}{12} - \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.6.2.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.7

Calcola per $x = \frac{17 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Sostituisci $\frac{17 π}{6}$ a $x$ .

$\frac{\frac{17 π}{6}}{2} + \cos (\frac{17 π}{6})$

Passaggio 4.7.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{17 π}{6} \cdot \frac{1}{2} + \cos (\frac{17 π}{6})$

Passaggio 4.7.2.2

Moltiplica $\frac{17 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.2.1

Moltiplica $\frac{17 π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{17 π}{6 \cdot 2} + \cos (\frac{17 π}{6})$

Passaggio 4.7.2.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{17 π}{12} + \cos (\frac{17 π}{6})$

Passaggio 4.7.2.3

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{17 π}{12} + \cos (\frac{5 π}{6})$

Passaggio 4.7.2.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{17 π}{12} - \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.7.2.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{17 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.8

Calcola per $x = \frac{29 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Sostituisci $\frac{29 π}{6}$ a $x$ .

$\frac{\frac{29 π}{6}}{2} + \cos (\frac{29 π}{6})$

Passaggio 4.8.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{29 π}{6} \cdot \frac{1}{2} + \cos (\frac{29 π}{6})$

Passaggio 4.8.2.2

Moltiplica $\frac{29 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.2.1

Moltiplica $\frac{29 π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{29 π}{6 \cdot 2} + \cos (\frac{29 π}{6})$

Passaggio 4.8.2.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{29 π}{12} + \cos (\frac{29 π}{6})$

Passaggio 4.8.2.3

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{29 π}{12} + \cos (\frac{5 π}{6})$

Passaggio 4.8.2.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{29 π}{12} - \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.8.2.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{29 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.9

Calcola per $x = \frac{41 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Sostituisci $\frac{41 π}{6}$ a $x$ .

$\frac{\frac{41 π}{6}}{2} + \cos (\frac{41 π}{6})$

Passaggio 4.9.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{41 π}{6} \cdot \frac{1}{2} + \cos (\frac{41 π}{6})$

Passaggio 4.9.2.2

Moltiplica $\frac{41 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.2.1

Moltiplica $\frac{41 π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{41 π}{6 \cdot 2} + \cos (\frac{41 π}{6})$

Passaggio 4.9.2.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{41 π}{12} + \cos (\frac{41 π}{6})$

Passaggio 4.9.2.3

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{41 π}{12} + \cos (\frac{5 π}{6})$

Passaggio 4.9.2.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{41 π}{12} - \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.9.2.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{41 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.10

Calcola per $x = \frac{53 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

Sostituisci $\frac{53 π}{6}$ a $x$ .

$\frac{\frac{53 π}{6}}{2} + \cos (\frac{53 π}{6})$

Passaggio 4.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{53 π}{6} \cdot \frac{1}{2} + \cos (\frac{53 π}{6})$

Passaggio 4.10.2.2

Moltiplica $\frac{53 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.2.1

Moltiplica $\frac{53 π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{53 π}{6 \cdot 2} + \cos (\frac{53 π}{6})$

Passaggio 4.10.2.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{53 π}{12} + \cos (\frac{53 π}{6})$

Passaggio 4.10.2.3

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{53 π}{12} + \cos (\frac{5 π}{6})$

Passaggio 4.10.2.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{53 π}{12} - \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.10.2.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{53 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.11

Elenca tutti i punti.

$(\frac{π}{6}, \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}), (\frac{13 π}{6}, \frac{13 π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}), (\frac{25 π}{6}, \frac{25 π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}), (\frac{37 π}{6}, \frac{37 π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}), (\frac{49 π}{6}, \frac{49 π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}), (\frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}), (\frac{17 π}{6}, \frac{17 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}), (\frac{29 π}{6}, \frac{29 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}), (\frac{41 π}{6}, \frac{41 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}), (\frac{53 π}{6}, \frac{53 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 5