Calcolo Esempi

$f (x) = x - \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$1 - - \sin (x)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 + 1 \sin (x)$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$f' (x) = 1 + \sin (x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $1 + \sin (x)$ .

$1 + \sin (x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $1 + \sin (x) = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$1 + \sin (x) = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (x) = - 1$

Passaggio 2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- 1)$

Passaggio 2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.5

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 2.6.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 2.6.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.8

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 2.8.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{2}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 2.8.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.8.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.8.3.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.8.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 2.8.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.8.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 2.8.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.8.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.9

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.10

Consolida le risposte.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ .

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$

Passaggio 4

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = 1 + \sin (x)$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = x - \cos (x)$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ nell'espressione.

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1) = 1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Passaggio 5.2

La risposta finale è $1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ .

$1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Passaggio 5.3

Semplifica.

$1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Passaggio 5.4

In corrispondenza di $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ la derivata è $1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ nell'espressione.

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1) = 1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Passaggio 6.2

La risposta finale è $1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ .

$1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Passaggio 6.4

In corrispondenza di $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ la derivata è $1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$

Passaggio 8