Calcolo Esempi

$x^{2} - x - \ln (x)$

Passaggio 1

Scrivi $x^{2} - x - \ln (x)$ come funzione.

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x - \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 2.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 2.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 2.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 2.1.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.1.1.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Passaggio 2.1.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - \frac{1}{x} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.2.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$2 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.2.3.6

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.2.3.7

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $0$ .

$2 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.2.3.8

Somma $x^{- 2}$ e $0$ .

$2 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + x^{- 2} + 0$

Passaggio 2.1.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{1}{x^{2}} + 0$

Passaggio 2.1.2.5.2

Somma $2 + \frac{1}{x^{2}}$ e $0$ .

$2 + \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.2.5.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x^{2}} + 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 2$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{1}{x^{2}} + 2 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 2 = 0$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x^{2}} = - 2$

Passaggio 2.2.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{2}, 1$

Passaggio 2.2.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{2}$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica per $x^{2}$ ciascun termine in $\frac{1}{x^{2}} = - 2$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{x^{2}} = - 2$ per $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Passaggio 2.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Passaggio 2.2.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = - 2 x^{2}$

Passaggio 2.2.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 x^{2} = 1$ .

$- 2 x^{2} = 1$

Passaggio 2.2.5.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = 1$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Passaggio 2.2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Passaggio 2.2.5.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 2}$

Passaggio 2.2.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.2.5.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.4.1

Riscrivi $- \frac{1}{2}$ come $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.4.1.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.2.5.4.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Passaggio 2.2.5.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Passaggio 2.2.5.4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.2.5.4.4

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.2.5.4.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.2.5.4.6

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Passaggio 2.2.5.4.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.4.7.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.2.5.4.7.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.2.5.4.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 2.2.5.4.7.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.2.5.4.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 2.2.5.4.7.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.5.4.7.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.5.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.2.5.4.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.4.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.2.5.4.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 2.2.5.4.7.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.2.5.4.8

$i$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.2.5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.2.5.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.2.5.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.2.5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3

Trova il dominio di $f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$ .

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Passaggio 3.1

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x > 0$

Passaggio 3.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 0}$

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 0}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f'' (2) = \frac{1}{{(2)}^{2}} + 2$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4} + 2$

Passaggio 5.2.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 5.2.3

$2$ e $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (2) = \frac{1 + 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.5.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f'' (2) = \frac{1 + 8}{4}$

Passaggio 5.2.5.2

Somma $1$ e $8$ .

$f'' (2) = \frac{9}{4}$

Passaggio 5.2.6

La risposta finale è $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{4}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(0, \infty)$ perché $f'' (2)$ è positivo.

Funzione convessa su $(0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6