Calcolo Esempi

$y = \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.4

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.6

Somma $1$ e $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.7

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

Passaggio 1.8

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Passaggio 1.9

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Passaggio 1.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 1.11

Somma $1$ e $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Passaggio 1.12

Semplifica.

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Passaggio 1.12.1

Riordina $- \sin^{2} (x)$ e $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Passaggio 1.12.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 1.12.3

Espandi $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.12.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 1.12.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 1.12.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.12.4

Combina i termini opposti in $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Passaggio 1.12.4.1

Riordina i fattori nei termini di $\cos (x) (- \sin (x))$ e $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.12.4.2

Somma $- \cos (x) \sin (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.12.4.3

Somma $\cos (x) \cos (x)$ e $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.12.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.12.5.1

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 1.12.5.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.12.5.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.12.5.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.12.5.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.12.5.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Passaggio 1.12.5.3

Moltiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 1.12.5.3.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Passaggio 1.12.5.3.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Passaggio 1.12.5.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 1.12.5.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Passaggio 1.12.6

Applica l'identità a doppio angolo per il coseno.

$f' (x) = \cos (2 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$