Calcolo Esempi

$y = 3 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x - 5$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$9 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $16$ per $1$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $9 x^{2} + 24 x + 16$ e $0$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 24 x + 16$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $9 x^{2} + 24 x + 16$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $9 x^{2} + 24 x + 16 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $9 x^{2}$ come ${(3 x)}^{2}$ .

${(3 x)}^{2} + 24 x + 16 = 0$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

${(3 x)}^{2} + 24 x + 4^{2} = 0$

Passaggio 2.2.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$24 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 4$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi il polinomio.

${(3 x)}^{2} + 2 \cdot (3 x) \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Passaggio 2.2.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = 3 x$ e $b = 4$ .

${(3 x + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Poni $3 x + 4$ uguale a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Passaggio 2.4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 4$

Passaggio 2.4.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 4$ e semplifica.

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Passaggio 2.4.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 4$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.4.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{4}{3}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $3 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x - 5$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = - \frac{4}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- \frac{4}{3}$ a $x$ .

$3 {(- \frac{4}{3})}^{3} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 4.1.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{4}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} \frac{4^{3}}{3^{3}}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$3 (- \frac{4^{3}}{3^{3}}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$3 (- \frac{64}{3^{3}}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$3 (- \frac{64}{27}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.1.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{64}{27}$ nel numeratore.

$3 (\frac{- 64}{27}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2.1.5.2

Scomponi $3$ da $27$ .

$3 \frac{- 64}{3 (9)} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{- 64}{3 \cdot 9} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 64}{9} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{64}{9} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2.1.7

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{9} + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2.1.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{9} + 12 ({(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{3^{2}}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{64}{9} + 12 (1 \frac{4^{2}}{3^{2}}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2.1.9

Moltiplica $\frac{4^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$- \frac{64}{9} + 12 \frac{4^{2}}{3^{2}} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2.1.10

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{64}{9} + 12 \frac{16}{3^{2}} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2.1.11

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{64}{9} + 12 (\frac{16}{9}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2.1.12

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.12.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$- \frac{64}{9} + 3 (4) \frac{16}{9} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2.1.12.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$- \frac{64}{9} + 3 \cdot 4 \frac{16}{3 \cdot 3} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2.1.12.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{64}{9} + 3 \cdot 4 \frac{16}{3 \cdot 3} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2.1.12.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{64}{9} + 4 (\frac{16}{3}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2.1.13

$4$ e $\frac{16}{3}$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{4 \cdot 16}{3} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2.1.14

Moltiplica $4$ per $16$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2.1.15

Moltiplica $16 (- \frac{4}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.15.1

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} - 16 (\frac{4}{3}) - 5$

Passaggio 4.1.2.1.15.2

$- 16$ e $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} + \frac{- 16 \cdot 4}{3} - 5$

Passaggio 4.1.2.1.15.3

Moltiplica $- 16$ per $4$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} + \frac{- 64}{3} - 5$

Passaggio 4.1.2.1.16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} - \frac{64}{3} - 5$

Passaggio 4.1.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 5 + \frac{- 64}{9} + \frac{64 - 64}{3}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Sottrai $64$ da $64$ .

$- 5 + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3}$

Passaggio 4.1.2.3

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 4.1.2.3.1

Scrivi $- 5$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 5}{1} + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $\frac{- 5}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{- 5}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3}$

Passaggio 4.1.2.3.3

Moltiplica $\frac{- 5}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3}$

Passaggio 4.1.2.3.4

Moltiplica $\frac{0}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.1.2.3.5

Moltiplica $\frac{0}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Passaggio 4.1.2.3.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0 \cdot 3}{9}$

Passaggio 4.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 5 \cdot 9 - 64 + 0 \cdot 3}{9}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.5.1

Moltiplica $- 5$ per $9$ .

$\frac{- 45 - 64 + 0 \cdot 3}{9}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Moltiplica $0$ per $3$ .

$\frac{- 45 - 64 + 0}{9}$

Passaggio 4.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Sottrai $64$ da $- 45$ .

$\frac{- 109 + 0}{9}$

Passaggio 4.1.2.6.2

Somma $- 109$ e $0$ .

$\frac{- 109}{9}$

Passaggio 4.1.2.6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{109}{9}$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(- \frac{4}{3}, - \frac{109}{9})$

Passaggio 5