Calcolo Esempi

$\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{({(x - 2)}^{3})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 2)}^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 2.1.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x - 2)}^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 2)}^{3} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 2.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 2.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 2.1.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 2.1.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 2.1.4.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (1 + 0))}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 2.1.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} \cdot 1)}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 2.1.4.5.2

Moltiplica ${(x - 2)}^{2}$ per $1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.1

Scomponi ${(x - 2)}^{2} x$ da $2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.1.1

Scomponi ${(x - 2)}^{2} x$ da $2 {(x - 2)}^{3} x$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 2.1.5.1.1.2

Scomponi ${(x - 2)}^{2} x$ da $- 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} x (- 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 2.1.5.1.1.3

Scomponi ${(x - 2)}^{2} x$ da ${(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} x (- 3 x)$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2) - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 2.1.5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 x + 2 \cdot - 2 - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 2.1.5.1.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 x - 4 - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 2.1.5.1.4

Sottrai $3 x$ da $2 x$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (- x - 4)}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 2.1.5.2

Elimina il fattore comune di ${(x - 2)}^{2}$ e ${(x - 2)}^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.1

Scomponi ${(x - 2)}^{2}$ da ${(x - 2)}^{2} x (- x - 4)$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 2.1.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.2.1

Scomponi ${(x - 2)}^{2}$ da ${(x - 2)}^{6}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (- x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.3

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{x (- (x) - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.5

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (4)$ .

$\frac{x (- (x + 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.6

Riscrivi $- (x + 4)$ come $- 1 (x + 4)$ .

$\frac{x (- 1 (x + 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ .

$- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$ .

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Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x (x + 4) = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 3.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 3.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.3.3

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 3.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 4) = 0$ vera.

$x = 0, - 4$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, - 4$ .

$0, - 4$

Passaggio 5

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta il denominatore in $\frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 2)}^{4} = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 5.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 6

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f' (- 5) = - \frac{(- 5) ((- 5) + 4)}{{((- 5) - 2)}^{4}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Somma $- 5$ e $4$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{{(- 5 - 2)}^{4}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $2$ da $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{{(- 7)}^{4}}$

Passaggio 7.2.2.2

Eleva $- 7$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{2401}$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$f' (- 5) = - \frac{5}{2401}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- \frac{5}{2401}$ .

$- \frac{5}{2401}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 5$ la derivata è $- \frac{5}{2401}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 4)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 4)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 4, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = - \frac{(- 2) ((- 2) + 4)}{{((- 2) - 2)}^{4}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Somma $- 2$ e $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{{(- 2 - 2)}^{4}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{{(- 4)}^{4}}$

Passaggio 8.2.2.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{256}$

Passaggio 8.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4}{256}$

Passaggio 8.2.3.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $256$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.2.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$f' (- 2) = - \frac{4 (- 1)}{256}$

Passaggio 8.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $256$ .

$f' (- 2) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 64}$

Passaggio 8.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (- 2) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 64}$

Passaggio 8.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 2) = - \frac{- 1}{64}$

Passaggio 8.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 2) = \frac{1}{64}$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{64}$ .

$\frac{1}{64}$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $\frac{1}{64}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 4, 0)$ .

Crescente su $(- 4, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - \frac{(1) ((1) + 4)}{{((1) - 2)}^{4}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Moltiplica $1 + 4$ per $1$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{{(1 - 2)}^{4}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{{(- 1)}^{4}}$

Passaggio 9.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{1}$

Passaggio 9.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Somma $1$ e $4$ .

$f' (1) = - \frac{5}{1}$

Passaggio 9.2.3.2

Dividi $5$ per $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 5$

Passaggio 9.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f' (1) = - 5$

Passaggio 9.2.4

La risposta finale è $- 5$ .

$- 5$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $- 5$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 2)$ .

Decrescente su $(0, 2)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 10

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = - \frac{(3) ((3) + 4)}{{((3) - 2)}^{4}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Somma $3$ e $4$ .

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{{(3 - 2)}^{4}}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Sottrai $2$ da $3$ .

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{1^{4}}$

Passaggio 10.2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{1}$

Passaggio 10.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Moltiplica $3$ per $7$ .

$f' (3) = - \frac{21}{1}$

Passaggio 10.2.3.2

Dividi $21$ per $1$ .

$f' (3) = - 1 \cdot 21$

Passaggio 10.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $21$ .

$f' (3) = - 21$

Passaggio 10.2.4

La risposta finale è $- 21$ .

$- 21$

Passaggio 10.3

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $- 21$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(2, \infty)$ .

Decrescente su $(2, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 11

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 4, 0)$

Decrescente su: $(- \infty, - 4), (0, 2), (2, \infty)$

Passaggio 12