Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x}{4 x^{2} - 9}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{4 x^{2} - 9}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 x^{2} - 9}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 x^{2} - 9}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 4 x^{2} - 9$ .

$2 \frac{(4 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 9]}{{(4 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{(4 x^{2} - 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 9]}{{(4 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $4 x^{2} - 9$ per $1$ .

$2 \frac{4 x^{2} - 9 - x \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 9]}{{(4 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$2 \frac{4 x^{2} - 9 - x (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(4 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{4 x^{2} - 9 - x (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(4 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \frac{4 x^{2} - 9 - x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(4 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6

Moltiplica $2$ per $4$ .

$2 \frac{4 x^{2} - 9 - x (8 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(4 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.7

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{4 x^{2} - 9 - x (8 x + 0)}{{(4 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.8.1

Somma $8 x$ e $0$ .

$2 \frac{4 x^{2} - 9 - x (8 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.8.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$2 \frac{4 x^{2} - 9 - 8 x \cdot x}{{(4 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{4 x^{2} - 9 - 8 (x^{1} x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{4 x^{2} - 9 - 8 (x^{1} x^{1})}{{(4 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \frac{4 x^{2} - 9 - 8 x^{1 + 1}}{{(4 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.7

Somma $1$ e $1$ .

$2 \frac{4 x^{2} - 9 - 8 x^{2}}{{(4 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8

Sottrai $8 x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$2 \frac{- 4 x^{2} - 9}{{(4 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.9

$2$ e $\frac{- 4 x^{2} - 9}{{(4 x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- 4 x^{2} - 9)}{{(4 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (- 4 x^{2}) + 2 \cdot - 9}{{(4 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 2 \cdot - 9}{{(4 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.10.2.2

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x^{2} - 18}{{(4 x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [- 8 x^{2} - 18] - (- 8 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 9)}^{2}]}{{({(4 x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [- 8 x^{2} - 18] - (- 8 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(4 x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [- 8 x^{2} - 18] - (- 8 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 8 x^{2} - 18$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]) - (- 8 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.2.3

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2} (- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]) - (- 8 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2} (- 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18]) - (- 8 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.2.5

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2} (- 16 x + \frac{d}{d x} [- 18]) - (- 8 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.2.6

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2} (- 16 x + 0) - (- 8 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.2.7

Somma $- 16 x$ e $0$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2} (- 16 x) - (- 8 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 4 x^{2} - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x^{2} - 9$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2} (- 16 x) - (- 8 x^{2} - 18) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 9])}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2} (- 16 x) - (- 8 x^{2} - 18) (2 u \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 9])}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x^{2} - 9$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2} (- 16 x) - (- 8 x^{2} - 18) (2 (4 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 9])}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} - 18) ((4 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 9])}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} - 18) ((4 x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.4.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} - 18) ((4 x^{2} - 9) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} - 18) ((4 x^{2} - 9) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.4.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} - 18) ((4 x^{2} - 9) (8 x + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.4.6

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} - 18) ((4 x^{2} - 9) (8 x + 0))}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.4.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.7.1

Somma $8 x$ e $0$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} - 18) ((4 x^{2} - 9) (8 x))}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.4.7.2

Sposta $8$ alla sinistra di $4 x^{2} - 9$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} - 18) (8 \cdot (4 x^{2} - 9) x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.4.7.3

Moltiplica $8$ per $- 2$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2} (- 16 x) - 16 (- 8 x^{2} - 18) ((4 x^{2} - 9) x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2} (- 16 x) + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) ((4 x^{2} - 9) x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2} (- 16 x) + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 16 {(4 x^{2} - 9)}^{2} x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.2

Riscrivi ${(4 x^{2} - 9)}^{2}$ come $(4 x^{2} - 9) (4 x^{2} - 9)$ .

$\frac{- 16 ((4 x^{2} - 9) (4 x^{2} - 9)) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.3

Espandi $(4 x^{2} - 9) (4 x^{2} - 9)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 16 (4 x^{2} (4 x^{2} - 9) - 9 (4 x^{2} - 9)) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 16 (4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 9 - 9 (4 x^{2} - 9)) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 16 (4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 9 - 9 (4 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.4.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 16 (4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 9 - 9 (4 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.4.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.4.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{- 16 (4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 9 - 9 (4 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.4.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 16 (4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 9 - 9 (4 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.4.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{- 16 (4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 9 - 9 (4 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.4.1.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{- 16 (16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 9 - 9 (4 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.4.1.4

Moltiplica $- 9$ per $4$ .

$\frac{- 16 (16 x^{4} - 36 x^{2} - 9 (4 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.4.1.5

Moltiplica $4$ per $- 9$ .

$\frac{- 16 (16 x^{4} - 36 x^{2} - 36 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.4.1.6

Moltiplica $- 9$ per $- 9$ .

$\frac{- 16 (16 x^{4} - 36 x^{2} - 36 x^{2} + 81) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.4.2

Sottrai $36 x^{2}$ da $- 36 x^{2}$ .

$\frac{- 16 (16 x^{4} - 72 x^{2} + 81) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(- 16 (16 x^{4}) - 16 (- 72 x^{2}) - 16 \cdot 81) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.6.1

Moltiplica $16$ per $- 16$ .

$\frac{(- 256 x^{4} - 16 (- 72 x^{2}) - 16 \cdot 81) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.6.2

Moltiplica $- 72$ per $- 16$ .

$\frac{(- 256 x^{4} + 1152 x^{2} - 16 \cdot 81) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.6.3

Moltiplica $- 16$ per $81$ .

$\frac{(- 256 x^{4} + 1152 x^{2} - 1296) x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 256 x^{4} x + 1152 x^{2} x - 1296 x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.8.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.8.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 256 (x \cdot x^{4}) + 1152 x^{2} x - 1296 x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.8.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 256 (x^{1} x^{4}) + 1152 x^{2} x - 1296 x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.8.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 256 x^{1 + 4} + 1152 x^{2} x - 1296 x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.8.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{2} x - 1296 x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.8.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.8.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 (x \cdot x^{2}) - 1296 x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.8.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 (x^{1} x^{2}) - 1296 x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.8.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{1 + 2} - 1296 x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.8.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + (- 16 (- 8 x^{2}) - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.9.1

Moltiplica $- 8$ per $- 16$ .

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + (128 x^{2} - 16 \cdot - 18) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.9.2

Moltiplica $- 16$ per $- 18$ .

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + (128 x^{2} + 288) (4 x^{2} x - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.10

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.10.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + (128 x^{2} + 288) (4 (x \cdot x^{2}) - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.10.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.10.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + (128 x^{2} + 288) (4 (x^{1} x^{2}) - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.10.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + (128 x^{2} + 288) (4 x^{1 + 2} - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.10.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + (128 x^{2} + 288) (4 x^{3} - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.11

Espandi $(128 x^{2} + 288) (4 x^{3} - 9 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + 128 x^{2} (4 x^{3} - 9 x) + 288 (4 x^{3} - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + 128 x^{2} (4 x^{3}) + 128 x^{2} (- 9 x) + 288 (4 x^{3} - 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + 128 x^{2} (4 x^{3}) + 128 x^{2} (- 9 x) + 288 (4 x^{3}) + 288 (- 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.12.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + 128 \cdot 4 x^{2} x^{3} + 128 x^{2} (- 9 x) + 288 (4 x^{3}) + 288 (- 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.12.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.12.1.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + 128 \cdot 4 (x^{3} x^{2}) + 128 x^{2} (- 9 x) + 288 (4 x^{3}) + 288 (- 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.12.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + 128 \cdot 4 x^{3 + 2} + 128 x^{2} (- 9 x) + 288 (4 x^{3}) + 288 (- 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.12.1.2.3

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + 128 \cdot 4 x^{5} + 128 x^{2} (- 9 x) + 288 (4 x^{3}) + 288 (- 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.12.1.3

Moltiplica $128$ per $4$ .

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + 512 x^{5} + 128 x^{2} (- 9 x) + 288 (4 x^{3}) + 288 (- 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.12.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + 512 x^{5} + 128 \cdot - 9 x^{2} x + 288 (4 x^{3}) + 288 (- 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.12.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.12.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + 512 x^{5} + 128 \cdot - 9 (x \cdot x^{2}) + 288 (4 x^{3}) + 288 (- 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.12.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1.12.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + 512 x^{5} + 128 \cdot - 9 (x^{1} x^{2}) + 288 (4 x^{3}) + 288 (- 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.12.1.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + 512 x^{5} + 128 \cdot - 9 x^{1 + 2} + 288 (4 x^{3}) + 288 (- 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.12.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + 512 x^{5} + 128 \cdot - 9 x^{3} + 288 (4 x^{3}) + 288 (- 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.12.1.6

Moltiplica $128$ per $- 9$ .

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + 512 x^{5} - 1152 x^{3} + 288 (4 x^{3}) + 288 (- 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.12.1.7

Moltiplica $4$ per $288$ .

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + 512 x^{5} - 1152 x^{3} + 1152 x^{3} + 288 (- 9 x)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.12.1.8

Moltiplica $- 9$ per $288$ .

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + 512 x^{5} - 1152 x^{3} + 1152 x^{3} - 2592 x}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.12.2

Somma $- 1152 x^{3}$ e $1152 x^{3}$ .

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + 512 x^{5} + 0 - 2592 x}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.1.12.3

Somma $512 x^{5}$ e $0$ .

$\frac{- 256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x + 512 x^{5} - 2592 x}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.2

Somma $- 256 x^{5}$ e $512 x^{5}$ .

$\frac{256 x^{5} + 1152 x^{3} - 1296 x - 2592 x}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3.3

Sottrai $2592 x$ da $- 1296 x$ .

$\frac{256 x^{5} + 1152 x^{3} - 3888 x}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.4.1

Scomponi $16 x$ da $256 x^{5} + 1152 x^{3} - 3888 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.4.1.1

Scomponi $16 x$ da $256 x^{5}$ .

$\frac{16 x (16 x^{4}) + 1152 x^{3} - 3888 x}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.4.1.2

Scomponi $16 x$ da $1152 x^{3}$ .

$\frac{16 x (16 x^{4}) + 16 x (72 x^{2}) - 3888 x}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.4.1.3

Scomponi $16 x$ da $- 3888 x$ .

$\frac{16 x (16 x^{4}) + 16 x (72 x^{2}) + 16 x (- 243)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.4.1.4

Scomponi $16 x$ da $16 x (16 x^{4}) + 16 x (72 x^{2})$ .

$\frac{16 x (16 x^{4} + 72 x^{2}) + 16 x (- 243)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.4.1.5

Scomponi $16 x$ da $16 x (16 x^{4} + 72 x^{2}) + 16 x (- 243)$ .

$\frac{16 x (16 x^{4} + 72 x^{2} - 243)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.4.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{16 x (16 {(x^{2})}^{2} + 72 x^{2} - 243)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.4.3

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$\frac{16 x (16 u^{2} + 72 u - 243)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.4.4

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.4.4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 16 \cdot - 243 = - 3888$ e la cui somma è $b = 72$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.4.4.1.1

Scomponi $72$ da $72 u$ .

$\frac{16 x (16 u^{2} + 72 (u) - 243)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.4.4.1.2

Riscrivi $72$ come $- 36$ più $108$ .

$\frac{16 x (16 u^{2} + (- 36 + 108) u - 243)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.4.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{16 x (16 u^{2} - 36 u + 108 u - 243)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.4.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.4.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{16 x ((16 u^{2} - 36 u) + 108 u - 243)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.4.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{16 x (4 u (4 u - 9) + 27 (4 u - 9))}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.4.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 u - 9$ .

$\frac{16 x ((4 u - 9) (4 u + 27))}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.4.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{16 x ((4 x^{2} - 9) (4 x^{2} + 27))}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.4.6

Riscrivi $4 x^{2}$ come ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{16 x (({(2 x)}^{2} - 9) (4 x^{2} + 27))}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.4.7

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{16 x (({(2 x)}^{2} - 3^{2}) (4 x^{2} + 27))}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.4.8

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2 x$ e $b = 3$ .

$\frac{16 x (2 x + 3) (2 x - 3) (4 x^{2} + 27)}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.5.1

Riscrivi $4 x^{2}$ come ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{16 x (2 x + 3) (2 x - 3) (4 x^{2} + 27)}{{({(2 x)}^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.5.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{16 x (2 x + 3) (2 x - 3) (4 x^{2} + 27)}{{({(2 x)}^{2} - 3^{2})}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.5.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2 x$ e $b = 3$ .

$\frac{16 x (2 x + 3) (2 x - 3) (4 x^{2} + 27)}{{((2 x + 3) (2 x - 3))}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.5.4

Applica la regola del prodotto a $(2 x + 3) (2 x - 3)$ .

$\frac{16 x (2 x + 3) (2 x - 3) (4 x^{2} + 27)}{{(2 x + 3)}^{4} {(2 x - 3)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.6

Elimina il fattore comune di $2 x + 3$ e ${(2 x + 3)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.6.1

Scomponi $2 x + 3$ da $16 x (2 x + 3) (2 x - 3) (4 x^{2} + 27)$ .

$\frac{(2 x + 3) ((16 x (2 x - 3)) (4 x^{2} + 27))}{{(2 x + 3)}^{4} {(2 x - 3)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.6.2.1

Scomponi $2 x + 3$ da ${(2 x + 3)}^{4} {(2 x - 3)}^{4}$ .

$\frac{(2 x + 3) ((16 x (2 x - 3)) (4 x^{2} + 27))}{(2 x + 3) ({(2 x + 3)}^{3} {(2 x - 3)}^{4})}$

Passaggio 1.2.5.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 x + 3) ((16 x (2 x - 3)) (4 x^{2} + 27))}{(2 x + 3) ({(2 x + 3)}^{3} {(2 x - 3)}^{4})}$

Passaggio 1.2.5.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(16 x (2 x - 3)) (4 x^{2} + 27)}{{(2 x + 3)}^{3} {(2 x - 3)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.7

Elimina il fattore comune di $2 x - 3$ e ${(2 x - 3)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.7.1

Scomponi $2 x - 3$ da $(16 x (2 x - 3)) (4 x^{2} + 27)$ .

$\frac{(2 x - 3) ((16 x) (4 x^{2} + 27))}{{(2 x + 3)}^{3} {(2 x - 3)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.7.2.1

Scomponi $2 x - 3$ da ${(2 x + 3)}^{3} {(2 x - 3)}^{4}$ .

$\frac{(2 x - 3) ((16 x) (4 x^{2} + 27))}{(2 x - 3) ({(2 x + 3)}^{3} {(2 x - 3)}^{3})}$

Passaggio 1.2.5.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 x - 3) ((16 x) (4 x^{2} + 27))}{(2 x - 3) ({(2 x + 3)}^{3} {(2 x - 3)}^{3})}$

Passaggio 1.2.5.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{(16 x) (4 x^{2} + 27)}{{(2 x + 3)}^{3} {(2 x - 3)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{16 x (4 x^{2} + 27)}{{(2 x + 3)}^{3} {(2 x - 3)}^{3}}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{16 x (4 x^{2} + 27)}{{(2 x + 3)}^{3} {(2 x - 3)}^{3}}$ .

$\frac{16 x (4 x^{2} + 27)}{{(2 x + 3)}^{3} {(2 x - 3)}^{3}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{16 x (4 x^{2} + 27)}{{(2 x + 3)}^{3} {(2 x - 3)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{16 x (4 x^{2} + 27)}{{(2 x + 3)}^{3} {(2 x - 3)}^{3}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$16 x (4 x^{2} + 27) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} + 27 = 0$

Passaggio 2.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.3.3

Imposta $4 x^{2} + 27$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $4 x^{2} + 27$ uguale a $0$ .

$4 x^{2} + 27 = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Risolvi $4 x^{2} + 27 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Sottrai $27$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} = - 27$

Passaggio 2.3.3.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{2} = - 27$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{2} = - 27$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 27}{4}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 27}{4}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 27}{4}$

Passaggio 2.3.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} = - \frac{27}{4}$

Passaggio 2.3.3.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- \frac{27}{4}}$

Passaggio 2.3.3.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{27}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.4.1

Riscrivi $- \frac{27}{4}$ come ${(\frac{3 i}{2})}^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.4.1.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{27}{4}}$

Passaggio 2.3.3.2.4.1.2

Scomponi la potenza perfetta $3^{2}$ su $27$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3^{2} \cdot 3}{4}}$

Passaggio 2.3.3.2.4.1.3

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 2.3.3.2.4.1.4

Riordina la frazione $\frac{3^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{3}{2})}^{2} \cdot 3)}$

Passaggio 2.3.3.2.4.1.5

Riscrivi $i^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}$ come ${(\frac{3 i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{3 i}{2})}^{2} \cdot 3}$

Passaggio 2.3.3.2.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm \frac{3 i}{2} \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.3.2.4.3

$\frac{3 i}{2}$ e $\sqrt{3}$ .

$x = \pm \frac{3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.3.3.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.3.3.2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.3.3.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $16 x (4 x^{2} + 27) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = \frac{2 x}{4 x^{2} - 9}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{2 (0)}{4 {(0)}^{2} - 9}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (0) = \frac{0}{4 \cdot 0^{2} - 9}$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{0}{4 \cdot 0 - 9}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 9}$

Passaggio 3.1.2.2.3

Sottrai $9$ da $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 9}$

Passaggio 3.1.2.3

Dividi $0$ per $- 9$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 3.1.2.4

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = \frac{2 x}{4 x^{2} - 9}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = \frac{16 (- 0.1) (4 {(- 0.1)}^{2} + 27)}{{(2 (- 0.1) + 3)}^{3} {(2 (- 0.1) - 3)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $16$ per $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.6 (4 {(- 0.1)}^{2} + 27)}{{(2 (- 0.1) + 3)}^{3} {(2 (- 0.1) - 3)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 1.6$ per $4 {(- 0.1)}^{2} + 27$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 43.264}{{(2 (- 0.1) + 3)}^{3} {(2 (- 0.1) - 3)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica $2$ per $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 43.264}{{(- 0.2 + 3)}^{3} {(2 (- 0.1) - 3)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 0.2$ e $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 43.264}{{2.8}^{3} {(2 (- 0.1) - 3)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 43.264}{{2.8}^{3} {(- 0.2 - 3)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.4

Sottrai $3$ da $- 0.2$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 43.264}{{2.8}^{3} {(- 3.2)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.5

Eleva $2.8$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 43.264}{21.952 {(- 3.2)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.6

Eleva $- 3.2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 43.264}{21.952 \cdot - 32.768}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $21.952$ per $- 32.768$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 43.264}{- 719.323136}$

Passaggio 5.2.3.2

Dividi $- 43.264$ per $- 719.323136$ .

$f'' (- 0.1) = 0.06014543$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $0.06014543$ .

$0.06014543$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 0.1$ , la derivata seconda è $0.06014543$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, 0)$ .

Crescente su $(- \infty, 0)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$f'' (0.1) = \frac{16 (0.1) (4 {(0.1)}^{2} + 27)}{{(2 (0.1) + 3)}^{3} {(2 (0.1) - 3)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $16$ per $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.6 (4 \cdot {0.1}^{2} + 27)}{{(2 (0.1) + 3)}^{3} {(2 (0.1) - 3)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $1.6$ per $4 \cdot {0.1}^{2} + 27$ .

$f'' (0.1) = \frac{43.264}{{(2 (0.1) + 3)}^{3} {(2 (0.1) - 3)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Moltiplica $2$ per $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{43.264}{{(0.2 + 3)}^{3} {(2 (0.1) - 3)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $0.2$ e $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{43.264}{{3.2}^{3} {(2 (0.1) - 3)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.3

Moltiplica $2$ per $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{43.264}{{3.2}^{3} {(0.2 - 3)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.4

Sottrai $3$ da $0.2$ .

$f'' (0.1) = \frac{43.264}{{3.2}^{3} {(- 2.8)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.5

Eleva $3.2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{43.264}{32.768 {(- 2.8)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.6

Eleva $- 2.8$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{43.264}{32.768 \cdot - 21.952}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $32.768$ per $- 21.952$ .

$f'' (0.1) = \frac{43.264}{- 719.323136}$

Passaggio 6.2.3.2

Dividi $43.264$ per $- 719.323136$ .

$f'' (0.1) = - 0.06014543$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- 0.06014543$ .

$- 0.06014543$

Passaggio 6.3

Per $0.1$ , la derivata seconda è $- 0.06014543$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0, \infty)$ .

Decrescente su $(0, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Passaggio 8