Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{3 x^{2} - 7 x}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2} - 7 x}$

Passaggio 1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2} - 7 x}$

Passaggio 1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{3 x^{2} - 7 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 7 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

Passaggio 3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Passaggio 3.5.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x - 7 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x - 7 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x - 7}$

Passaggio 4

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{3}}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

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Passaggio 5.1.1

Scomponi $x$ da $4 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Passaggio 5.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x^{1}}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Passaggio 5.1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Passaggio 5.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Passaggio 5.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{2}}{1}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Passaggio 5.1.2.5

Dividi $4 x^{2}$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $6$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{6 + \frac{- 7}{x}}$

Passaggio 5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{6 - \frac{7}{x}}$

Passaggio 6

Con $x$ che tende a $\infty$ , la frazione $\frac{7}{x}$ tende a $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{6 - 0}$

Passaggio 7

Poiché il suo numeratore è illimitato mentre il denominatore tende a un numero costante, la frazione $\frac{4 x^{2}}{6 - 0}$ tende a infinito.

$\infty$