Calcolo Esempi

$3 x {(x - 2)}^{3}$

Passaggio 1

Scrivi $3 x {(x - 2)}^{3}$ come funzione.

$f (x) = 3 x {(x - 2)}^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x {(x - 2)}^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 2$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 2$ .

$3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.4.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.4.4.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \cdot 1)$

Passaggio 2.1.4.6

Moltiplica ${(x - 2)}^{3}$ per $1$ .

$3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3})$

Passaggio 2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x (3 {(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Passaggio 2.1.5.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 (x ({(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Passaggio 2.1.5.3

Scomponi $3 {(x - 2)}^{2}$ da $9 x {(x - 2)}^{2} + 3 {(x - 2)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.3.1

Scomponi $3 {(x - 2)}^{2}$ da $9 x {(x - 2)}^{2}$ .

$3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Passaggio 2.1.5.3.2

Scomponi $3 {(x - 2)}^{2}$ da $3 {(x - 2)}^{3}$ .

$3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Passaggio 2.1.5.3.3

Scomponi $3 {(x - 2)}^{2}$ da $3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$ .

$3 {(x - 2)}^{2} (3 x + x - 2)$

Passaggio 2.1.5.4

Somma $3 x$ e $x$ .

$3 {(x - 2)}^{2} (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.5

Riscrivi ${(x - 2)}^{2}$ come $(x - 2) (x - 2)$ .

$3 ((x - 2) (x - 2)) (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.6

Espandi $(x - 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.7.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.7.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.7.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.7.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$3 (x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.8

Applica la proprietà distributiva.

$(3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.9.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$(3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.9.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$(3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.10

Espandi $(3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.11.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \cdot 4 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.11.2.1

Sposta $x$ .

$3 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.11.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 \cdot 4 x^{1 + 2} + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$3 \cdot 4 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.4

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot 4 x \cdot x - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.11.6.1

Sposta $x$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot 4 (x \cdot x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot 4 x^{2} - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.7

Moltiplica $- 12$ per $4$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.8

Moltiplica $- 2$ per $- 12$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.9

Moltiplica $4$ per $12$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x + 12 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.10

Moltiplica $12$ per $- 2$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

Passaggio 2.1.5.12

Sottrai $48 x^{2}$ da $- 6 x^{2}$ .

$12 x^{3} - 54 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

Passaggio 2.1.5.13

Somma $24 x$ e $48 x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 54 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $3$ per $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 54 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 54 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $- 54$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 54 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 54 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} - 54 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$36 x^{2} - 54 (2 x) + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 54$ .

$36 x^{2} - 108 x + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Passaggio 2.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [72 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Poiché $72$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $72 x$ rispetto a $x$ è $72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 24]$

Passaggio 2.2.4.3

Moltiplica $72$ per $1$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72 + \frac{d}{d x} [- 24]$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24$ rispetto a $x$ è $0$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72 + 0$

Passaggio 2.2.5.2

Somma $36 x^{2} - 108 x + 72$ e $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $36 x^{2} - 108 x + 72$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $36$ da $36 x^{2} - 108 x + 72$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $36$ da $36 x^{2}$ .

$36 (x^{2}) - 108 x + 72 = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $36$ da $- 108 x$ .

$36 (x^{2}) + 36 (- 3 x) + 72 = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi $36$ da $72$ .

$36 x^{2} + 36 (- 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

Passaggio 3.2.1.4

Scomponi $36$ da $36 x^{2} + 36 (- 3 x)$ .

$36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

Passaggio 3.2.1.5

Scomponi $36$ da $36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2$ .

$36 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 3 x + 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 2, - 1$

Passaggio 3.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$36 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Passaggio 3.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$36 (x - 2) (x - 1) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 3.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $36 (x - 2) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 2, 1$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $2$ in $f (x) = 3 x {(x - 2)}^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 3 (2) {((2) - 2)}^{3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (2) = 6 {((2) - 2)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (2) = 6 \cdot 0^{3}$

Passaggio 4.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (2) = 6 \cdot 0$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $6$ per $0$ .

$f (2) = 0$

Passaggio 4.1.2.5

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $2$ in $f (x) = 3 x {(x - 2)}^{3}$ è $(2, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(2, 0)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $1$ in $f (x) = 3 x {(x - 2)}^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 3 (1) {((1) - 2)}^{3}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1) = 3 {((1) - 2)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f (1) = 3 {(- 1)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (1) = 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.3.2.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (1) = - 3$

Passaggio 4.3.2.5

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $1$ in $f (x) = 3 x {(x - 2)}^{3}$ è $(1, - 3)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(1, - 3)$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(2, 0), (1, - 3)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.9$ nell'espressione.

$f'' (0.9) = 36 {(0.9)}^{2} - 108 \cdot 0.9 + 72$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $0.9$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.9) = 36 \cdot 0.81 - 108 \cdot 0.9 + 72$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $36$ per $0.81$ .

$f'' (0.9) = 29.16 - 108 \cdot 0.9 + 72$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 108$ per $0.9$ .

$f'' (0.9) = 29.16 - 97.2 + 72$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $97.2$ da $29.16$ .

$f'' (0.9) = - 68.04 + 72$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 68.04$ e $72$ .

$f'' (0.9) = 3.96$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $3.96$ .

$3.96$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $0.9$ , la derivata seconda è $3.96$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, 1)$ .

Crescente su $(- \infty, 1)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, 2)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f'' (\frac{3}{2}) = 36 {(\frac{3}{2})}^{2} - 108 (\frac{3}{2}) + 72$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 36 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) - 108 (\frac{3}{2}) + 72$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 36 (\frac{9}{2^{2}}) - 108 (\frac{3}{2}) + 72$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 36 (\frac{9}{4}) - 108 (\frac{3}{2}) + 72$

Passaggio 7.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $36$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 (9) (\frac{9}{4}) - 108 (\frac{3}{2}) + 72$

Passaggio 7.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 \cdot (9 (\frac{9}{4})) - 108 (\frac{3}{2}) + 72$

Passaggio 7.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (\frac{3}{2}) = 9 \cdot 9 - 108 (\frac{3}{2}) + 72$

Passaggio 7.2.1.5

Moltiplica $9$ per $9$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 81 - 108 (\frac{3}{2}) + 72$

Passaggio 7.2.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.6.1

Scomponi $2$ da $- 108$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 81 + 2 (- 54) (\frac{3}{2}) + 72$

Passaggio 7.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (\frac{3}{2}) = 81 + 2 \cdot (- 54 (\frac{3}{2})) + 72$

Passaggio 7.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (\frac{3}{2}) = 81 - 54 \cdot 3 + 72$

Passaggio 7.2.1.7

Moltiplica $- 54$ per $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 81 - 162 + 72$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $162$ da $81$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - 81 + 72$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 81$ e $72$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - 9$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 9$ .

$- 9$

Passaggio 7.3

Per $\frac{3}{2}$ , la derivata seconda è $- 9$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(1, 2)$ .

Decrescente su $(1, 2)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.1$ nell'espressione.

$f'' (2.1) = 36 {(2.1)}^{2} - 108 \cdot 2.1 + 72$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $2.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2.1) = 36 \cdot 4.41 - 108 \cdot 2.1 + 72$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $36$ per $4.41$ .

$f'' (2.1) = 158.76 - 108 \cdot 2.1 + 72$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $- 108$ per $2.1$ .

$f'' (2.1) = 158.76 - 226.8 + 72$

Passaggio 8.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Sottrai $226.8$ da $158.76$ .

$f'' (2.1) = - 68.04 + 72$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $- 68.04$ e $72$ .

$f'' (2.1) = 3.96$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $3.96$ .

$3.96$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $2.1$ , la derivata seconda è $3.96$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(2, \infty)$ .

Crescente su $(2, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(1, - 3), (2, 0)$ .

$(1, - 3), (2, 0)$

Passaggio 10