Calcolo Esempi

$y = 8 \csc (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 \csc (x)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$8 (- \csc (x) \cot (x))$

Passaggio 1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 (\csc (x) \cot (x))$

Passaggio 1.3.2

Riordina i fattori di $- 8 \csc (x) \cot (x)$ .

$f' (x) = - 8 \cot (x) \csc (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 \cot (x) \csc (x)$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = \csc (x)$ .

$- 8 (\cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Passaggio 2.3

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 8 (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Passaggio 2.4

Eleva $\cot (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 8 (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Passaggio 2.5

Eleva $\cot (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 8 (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 8 (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $1$ .

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Passaggio 2.8

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

Passaggio 2.9

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)))$

Passaggio 2.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

Passaggio 2.11

Somma $1$ e $2$ .

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

Passaggio 2.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x)) - 8 (- \csc^{3} (x))$

Passaggio 2.12.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$8 (\csc (x) \cot^{2} (x)) - 8 (- \csc^{3} (x))$

Passaggio 2.12.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$8 \csc (x) \cot^{2} (x) + 8 \csc^{3} (x)$

Passaggio 2.12.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 8 \cot^{2} (x) \csc (x) + 8 \csc^{3} (x)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 \cot^{2} (x) \csc (x) + 8 \csc^{3} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 \cot^{2} (x) \csc (x)] + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 \cot^{2} (x) \csc (x)] + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [8 \cot^{2} (x) \csc (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 \cot^{2} (x) \csc (x)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc (x)] + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cot^{2} (x)$ e $g (x) = \csc (x)$ .

$8 (\cot^{2} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.3

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$8 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cot (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cot (x)$ .

$8 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$8 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cot (x)$ .

$8 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.5

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$8 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $\cot^{2} (x)$ per $\cot (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Sposta $\cot (x)$ .

$8 (\cot (x) \cot^{2} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.6.2

Moltiplica $\cot (x)$ per $\cot^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.2.1

Eleva $\cot (x)$ alla potenza di $1$ .

$8 (\cot^{1} (x) \cot^{2} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 ({\cot (x)}^{1 + 2} (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.6.3

Somma $1$ e $2$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (- 2 \cot (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.8

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) {\csc (x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.10

Somma $1$ e $2$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 \csc^{3} (x)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x)]$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 8 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x)]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\csc (x)$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 8 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 8 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\csc (x)$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 8 (3 \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Passaggio 3.3.3

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 8 (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 8 (- 3 \csc^{2} (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Passaggio 3.3.5

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 8 (- 3 (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)) \cot (x))$

Passaggio 3.3.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 8 (- 3 {\csc (x)}^{1 + 2} \cot (x))$

Passaggio 3.3.7

Somma $1$ e $2$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 8 (- 3 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $- 3$ per $8$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) - 24 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x))) + 8 (- 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) - 24 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 (\cot^{3} (x) (\csc (x))) + 8 (- 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) - 24 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$- 8 \cot^{3} (x) \csc (x) - 16 (\cot (x) \csc^{3} (x)) - 24 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Passaggio 3.4.2.3

Riordina i fattori di $- 16 \cot (x) \csc^{3} (x)$ .

$- 8 \cot^{3} (x) \csc (x) - 16 \csc^{3} (x) \cot (x) - 24 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Passaggio 3.4.2.4

Sottrai $24 \csc^{3} (x) \cot (x)$ da $- 16 \csc^{3} (x) \cot (x)$ .

$f''' (x) = - 8 \cot^{3} (x) \csc (x) - 40 \csc^{3} (x) \cot (x)$