Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x}$ , $a = 4$

Passaggio 1

Considera la funzione usata per trovare la linearizzazione in $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Passaggio 2

Sostituisci il valore di $a = 4$ nella funzione di linearizzazione.

$L (x) = f (4) + f' (4) (x - 4)$

Passaggio 3

Calcola $f (4)$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = \sqrt{4}$

Passaggio 3.2

Semplifica $\sqrt{4}$ .

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Passaggio 3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$(\sqrt{4})$

Passaggio 3.2.2

Rimuovi le parentesi.

$\sqrt{4}$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$2$

Passaggio 4

Trova la derivata e calcolala con $4$ .

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Passaggio 4.1

Trova la derivata di $f (x) = \sqrt{x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 4.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 4.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 4.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 4.1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Passaggio 4.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 4.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.8

Semplifica.

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Passaggio 4.1.8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.8.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$\frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.3.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.3.1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 4.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

Passaggio 4.3.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2^{1 + 1}}$

Passaggio 4.3.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 5

Sostituisci i componenti nella funzione di linearizzazione per trovare la linearizzazione a $a$ .

$L (x) = 2 + \frac{1}{4} (x - 4)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$L (x) = 2 + \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 4$

Passaggio 6.1.2

$\frac{1}{4}$ e $x$ .

$L (x) = 2 + \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 4$

Passaggio 6.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 6.1.3.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$L (x) = 2 + \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))$

Passaggio 6.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$L (x) = 2 + \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Passaggio 6.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$L (x) = 2 + \frac{x}{4} - 1$

Passaggio 6.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$L (x) = \frac{x}{4} + 1$

Passaggio 7