Calcolo Esempi

$y^{2} = 2 x$ , $x = 2 y$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $2 y$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ in $y^{2} = 2 x$ con $2 y$ .

$y^{2} = 2 (2 y)$

$x = 2 y$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ in $y^{2} = 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $4 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - 4 y = 0$

$x = 2 y$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $y$ da $y^{2} - 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$y \cdot y - 4 y = 0$

$x = 2 y$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $y$ da $- 4 y$ .

$y \cdot y + y \cdot - 4 = 0$

$x = 2 y$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $y$ da $y \cdot y + y \cdot - 4$ .

$y (y - 4) = 0$

$x = 2 y$

$y (y - 4) = 0$

$x = 2 y$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y = 0$

$y - 4 = 0$

$x = 2 y$

Passaggio 1.2.4

Imposta $y$ uguale a $0$ .

$y = 0$

$x = 2 y$

Passaggio 1.2.5

Imposta $y - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $y - 4$ uguale a $0$ .

$y - 4 = 0$

$x = 2 y$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 4$

$x = 2 y$

$y = 4$

$x = 2 y$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $y (y - 4) = 0$ vera.

$y = 0, 4$

$x = 2 y$

$y = 0, 4$

$x = 2 y$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $0$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $x = 2 y$ con $0$ .

$x = 2 (0)$

$y = 0$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $4$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $x = 2 y$ con $4$ .

$x = 2 (4)$

$y = 4$

Passaggio 1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x = 8$

$y = 4$

$x = 8$

$y = 4$

$x = 8$

$y = 4$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 0)$

$(8, 4)$

$(0, 0)$

$(8, 4)$

Passaggio 2

Risolvi $y^{2} = 2 x$ in termini di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $2 x = y^{2}$ .

$2 x = y^{2}$

Passaggio 2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = y^{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{2}$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{4} 2 y d y - \int_{0}^{4} \frac{y^{2}}{2} d y$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{4} 2 y - (\frac{y^{2}}{2}) d y$

Passaggio 4.2

Moltiplica $- 1$ per $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\int_{0}^{4} 2 y - \frac{y^{2}}{2} d y$

Passaggio 4.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{4} 2 y d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Passaggio 4.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{0}^{4} y d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Passaggio 4.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Passaggio 4.6

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Passaggio 4.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} \frac{y^{2}}{2} d y$

Passaggio 4.8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{2} \int_{0}^{4} y^{2} d y)$

Passaggio 4.9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}$

Passaggio 4.10

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

Calcola $\frac{y^{2}}{2}$ per $4$ e per $0$ .

$2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}$

Passaggio 4.10.2

Calcola $\frac{1}{3} y^{3}$ per $4$ e per $0$ .

$2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 4.10.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$2 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 4.10.3.2

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.3.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 4.10.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 4.10.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 4.10.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 4.10.3.2.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$2 (8 - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 4.10.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$2 (8 - \frac{0}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 4.10.3.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.3.4.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$2 (8 - \frac{2 (0)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 4.10.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 4.10.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 4.10.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (8 - \frac{0}{1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 4.10.3.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$2 (8 - 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 4.10.3.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 (8 + 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 4.10.3.6

Somma $8$ e $0$ .

$2 \cdot 8 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 4.10.3.7

Moltiplica $2$ per $8$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 4.10.3.8

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 4.10.3.9

$\frac{1}{3}$ e $64$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 4.10.3.10

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Passaggio 4.10.3.11

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

Passaggio 4.10.3.12

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{3}$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} + 0)$

Passaggio 4.10.3.13

Somma $\frac{64}{3}$ e $0$ .

$16 - \frac{1}{2} \cdot \frac{64}{3}$

Passaggio 4.10.3.14

Moltiplica $\frac{64}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$16 - \frac{64}{3 \cdot 2}$

Passaggio 4.10.3.15

Moltiplica $3$ per $2$ .

$16 - \frac{64}{6}$

Passaggio 4.10.3.16

Elimina il fattore comune di $64$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.3.16.1

Scomponi $2$ da $64$ .

$16 - \frac{2 (32)}{6}$

Passaggio 4.10.3.16.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.3.16.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$16 - \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.10.3.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$16 - \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.10.3.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$16 - \frac{32}{3}$

Passaggio 4.10.3.17

Per scrivere $16$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3}$

Passaggio 4.10.3.18

$16$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{32}{3}$

Passaggio 4.10.3.19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{16 \cdot 3 - 32}{3}$

Passaggio 4.10.3.20

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.3.20.1

Moltiplica $16$ per $3$ .

$\frac{48 - 32}{3}$

Passaggio 4.10.3.20.2

Sottrai $32$ da $48$ .

$\frac{16}{3}$

Passaggio 5