Calcolo Esempi

$f (t) = \sqrt{6 t + 8}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6 t + 8}$ come ${(6 t + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [{(6 t + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 6 t + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $6 t + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [6 t + 8]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [6 t + 8]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 t + 8$ .

$\frac{1}{2} {(6 t + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [6 t + 8]$

Passaggio 1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 t + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 8]$

Passaggio 1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 t + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 8]$

Passaggio 1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(6 t + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 8]$

Passaggio 1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(6 t + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 8]$

Passaggio 1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(6 t + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 8]$

Passaggio 1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(6 t + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 8]$

Passaggio 1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(6 t + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(6 t + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [6 t + 8]$

Passaggio 1.7.3

Sposta ${(6 t + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [6 t + 8]$

Passaggio 1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 t + 8$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$\frac{1}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [8])$

Passaggio 1.9

Poiché $6$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $6 t$ rispetto a $t$ è $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [8])$

Passaggio 1.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [8])$

Passaggio 1.11

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d t} [8])$

Passaggio 1.12

Poiché $8$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $8$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{1}{2}}} (6 + 0)$

Passaggio 1.13

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.13.1

Somma $6$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 6$

Passaggio 1.13.2

$\frac{1}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ e $6$ .

$\frac{6}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.3

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.14

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.14.1

Scomponi $2$ da $2 {(6 t + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({(6 t + 8)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.14.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (t) = \frac{3}{{(6 t + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 2.1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{3}{{(6 t + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(6 t + 8)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(6 t + 8)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(6 t + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ come ${({(6 t + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d t} [{({(6 t + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(6 t + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{d}{d t} [{(6 t + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Passaggio 2.1.2.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$3 \frac{d}{d t} [{(6 t + 8)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Passaggio 2.1.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 \frac{d}{d t} [{(6 t + 8)}^{- \frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- \frac{1}{2}}$ e $g (t) = 6 t + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $6 t + 8$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [6 t + 8])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [6 t + 8])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 t + 8$ .

$3 (- \frac{1}{2} {(6 t + 8)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [6 t + 8])$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} {(6 t + 8)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 8])$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} {(6 t + 8)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 8])$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 (- \frac{1}{2} {(6 t + 8)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 8])$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 (- \frac{1}{2} {(6 t + 8)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 8])$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$3 (- \frac{1}{2} {(6 t + 8)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 8])$

Passaggio 2.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 (- \frac{1}{2} {(6 t + 8)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 8])$

Passaggio 2.7.2

${(6 t + 8)}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{{(6 t + 8)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [6 t + 8])$

Passaggio 2.7.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1

Sposta ${(6 t + 8)}^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [6 t + 8])$

Passaggio 2.7.3.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 (\frac{1}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [6 t + 8])$

Passaggio 2.7.4

$\frac{1}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{3}{2}}}$ e $- 3$ .

$\frac{- 3}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [6 t + 8]$

Passaggio 2.7.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [6 t + 8]$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 t + 8$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$- \frac{3}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [8])$

Passaggio 2.9

Poiché $6$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $6 t$ rispetto a $t$ è $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{3}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{3}{2}}} (6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [8])$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{3}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{3}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [8])$

Passaggio 2.11

Moltiplica $6$ per $1$ .

$- \frac{3}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{3}{2}}} (6 + \frac{d}{d t} [8])$

Passaggio 2.12

Poiché $8$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $8$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- \frac{3}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{3}{2}}} (6 + 0)$

Passaggio 2.13

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1

Somma $6$ e $0$ .

$- \frac{3}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 6$

Passaggio 2.13.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 6 \frac{3}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.13.3

$- 6$ e $\frac{3}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 6 \cdot 3}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.13.4

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$\frac{- 18}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.13.5

Scomponi $2$ da $- 18$ .

$\frac{2 \cdot - 9}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.14

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Scomponi $2$ da $2 {(6 t + 8)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 9}{2 ({(6 t + 8)}^{\frac{3}{2}})}$

Passaggio 2.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 9}{2 {(6 t + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 9}{{(6 t + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (t) = - \frac{9}{{(6 t + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (t)$ rispetto a $t$ è $- \frac{9}{{(6 t + 8)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{9}{{(6 t + 8)}^{\frac{3}{2}}}$