Calcolo Esempi

$- 4 x^{2} e^{x} + 5 x e^{x} - 10 e^{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x^{2} e^{x} + 5 x e^{x} - 10 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2} e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x e^{x}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) - 10 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) - 10 e^{x}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) - 10 e^{x}$

Passaggio 1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x}) + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

Passaggio 1.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 (e^{x} (x)) + 5 (x e^{x}) + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

Passaggio 1.5.3.2

Somma $- 8 e^{x} x$ e $5 x e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Sposta $e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 5 x e^{x} + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Somma $- 8 x e^{x}$ e $5 x e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

Passaggio 1.5.3.3

Sottrai $10 e^{x}$ da $5 e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 5 e^{x}$

Passaggio 1.5.4

Riordina i termini.

$- 4 e^{x} x^{2} - 3 e^{x} x - 5 e^{x}$

Passaggio 1.5.5

Riordina i fattori in $- 4 e^{x} x^{2} - 3 e^{x} x - 5 e^{x}$ .

$f' (x) = - 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 5 e^{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 5 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2} e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) - 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) - 5 e^{x}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) - 5 e^{x}$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x}) - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

Passaggio 2.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 (e^{x} (x)) - 3 (x e^{x}) - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

Passaggio 2.5.3.2

Sottrai $3 x e^{x}$ da $- 8 e^{x} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.2.1

Sposta $e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} - 3 x e^{x} - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

Passaggio 2.5.3.2.2

Sottrai $3 x e^{x}$ da $- 8 x e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

Passaggio 2.5.3.3

Sottrai $5 e^{x}$ da $- 3 e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} - 8 e^{x}$

Passaggio 2.5.4

Riordina i termini.

$- 4 e^{x} x^{2} - 11 e^{x} x - 8 e^{x}$

Passaggio 2.5.5

Riordina i fattori in $- 4 e^{x} x^{2} - 11 e^{x} x - 8 e^{x}$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} - 8 e^{x}$