Calcolo Esempi

$x^{3} + y^{3} - 6 x y = 0$ , $(\frac{4}{3}, \frac{8}{3})$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (x^{3} + y^{3} - 6 x y) = \frac{d}{d y} (0)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + y^{3} - 6 x y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 x y]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 x y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 x y]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 x y]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 x y]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$3 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 x y]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 6 x y]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d y} [- 6 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 6 x y$ rispetto a $y$ è $- 6 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} - 6 \frac{d}{d y} [x y]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} - 6 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} - 6 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 2.4.4

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} - 6 (x \cdot 1 + y x')$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} - 6 (x + y x')$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} - 6 x - 6 (y x')$

Passaggio 2.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} - 6 x - 6 y x'$

Passaggio 2.5.3

Riordina i termini.

$3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 y x' - 6 x$

Passaggio 3

Poiché $0$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $0$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 y x' - 6 x = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai $3 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} x' - 6 y x' - 6 x = - 3 y^{2}$

Passaggio 5.1.2

Somma $6 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} x' - 6 y x' = - 3 y^{2} + 6 x$

Passaggio 5.2

Scomponi $3 x'$ da $3 x^{2} x' - 6 y x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $3 x'$ da $3 x^{2} x'$ .

$3 x' x^{2} - 6 y x' = - 3 y^{2} + 6 x$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $3 x'$ da $- 6 y x'$ .

$3 x' x^{2} + 3 x' (- 2 y) = - 3 y^{2} + 6 x$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $3 x'$ da $3 x' x^{2} + 3 x' (- 2 y)$ .

$3 x' (x^{2} - 2 y) = - 3 y^{2} + 6 x$

Passaggio 5.3

Dividi per $3 (x^{2} - 2 y)$ ciascun termine in $3 x' (x^{2} - 2 y) = - 3 y^{2} + 6 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $3 (x^{2} - 2 y)$ ciascun termine in $3 x' (x^{2} - 2 y) = - 3 y^{2} + 6 x$ .

$\frac{3 x' (x^{2} - 2 y)}{3 (x^{2} - 2 y)} = \frac{- 3 y^{2}}{3 (x^{2} - 2 y)} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x' (x^{2} - 2 y)}{3 (x^{2} - 2 y)} = \frac{- 3 y^{2}}{3 (x^{2} - 2 y)} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x' (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y} = \frac{- 3 y^{2}}{3 (x^{2} - 2 y)} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{2} - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y} = \frac{- 3 y^{2}}{3 (x^{2} - 2 y)} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{3 (x^{2} - 2 y)} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Scomponi $3$ da $- 3 y^{2}$ .

$x' = \frac{3 (- y^{2})}{3 (x^{2} - 2 y)} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x' = \frac{3 (- y^{2})}{3 (x^{2} - 2 y)} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x' = \frac{- y^{2}}{x^{2} - 2 y} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 y} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.3.1

Scomponi $3$ da $6 x$ .

$x' = - \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 y} + \frac{3 (2 x)}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$x' = - \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 y} + \frac{3 (2 x)}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x' = - \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 y} + \frac{2 x}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x' = \frac{- y^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Scomponi $- 1$ da $- y^{2}$ .

$x' = \frac{- (y^{2}) + 2 x}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Scomponi $- 1$ da $2 x$ .

$x' = \frac{- (y^{2}) - (- 2 x)}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2.4

Scomponi $- 1$ da $- (y^{2}) - (- 2 x)$ .

$x' = \frac{- (y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.5.1

Riscrivi $- (y^{2} - 2 x)$ come $- 1 (y^{2} - 2 x)$ .

$x' = \frac{- 1 (y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{y^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{y^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 7

Sostituisci $x$ con $\frac{4}{3}$ e $y$ con $\frac{8}{3}$ nell'espressione.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{{(\frac{8}{3})}^{2} - 2 (\frac{4}{3})}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Passaggio 8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{8}{3}$ .

$- \frac{\frac{8^{2}}{3^{2}} - 2 (\frac{4}{3})}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Passaggio 8.1.2

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{\frac{64}{3^{2}} - 2 (\frac{4}{3})}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Passaggio 8.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{\frac{64}{9} - 2 (\frac{4}{3})}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $- 2 (\frac{4}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.4.1

$- 2$ e $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{\frac{64}{9} + \frac{- 2 \cdot 4}{3}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Passaggio 8.1.4.2

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$- \frac{\frac{64}{9} + \frac{- 8}{3}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Passaggio 8.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\frac{64}{9} - \frac{8}{3}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Passaggio 8.1.6

Per scrivere $- \frac{8}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{64}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Passaggio 8.1.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.7.1

Moltiplica $\frac{8}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{64}{9} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Passaggio 8.1.7.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{\frac{64}{9} - \frac{8 \cdot 3}{9}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Passaggio 8.1.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\frac{64 - 8 \cdot 3}{9}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Passaggio 8.1.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.9.1

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$- \frac{\frac{64 - 24}{9}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Passaggio 8.1.9.2

Sottrai $24$ da $64$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Passaggio 8.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{4^{2}}{3^{2}} - 2 (\frac{8}{3})}$

Passaggio 8.2.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{3^{2}} - 2 (\frac{8}{3})}$

Passaggio 8.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{9} - 2 (\frac{8}{3})}$

Passaggio 8.2.4

Moltiplica $- 2 (\frac{8}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.1

$- 2$ e $\frac{8}{3}$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{9} + \frac{- 2 \cdot 8}{3}}$

Passaggio 8.2.4.2

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{9} + \frac{- 16}{3}}$

Passaggio 8.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{9} - \frac{16}{3}}$

Passaggio 8.2.6

Per scrivere $- \frac{16}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{9} - \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 8.2.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.7.1

Moltiplica $\frac{16}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 8.2.7.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{9}}$

Passaggio 8.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16 - 16 \cdot 3}{9}}$

Passaggio 8.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.9.1

Moltiplica $- 16$ per $3$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16 - 48}{9}}$

Passaggio 8.2.9.2

Sottrai $48$ da $16$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{- 32}{9}}$

Passaggio 8.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\frac{40}{9}}{- \frac{32}{9}}$

Passaggio 8.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (\frac{40}{9} (- \frac{9}{32}))$

Passaggio 8.4

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{9}{32}$ nel numeratore.

$- (\frac{40}{9} \cdot \frac{- 9}{32})$

Passaggio 8.4.2

Scomponi $8$ da $40$ .

$- (\frac{8 (5)}{9} \cdot \frac{- 9}{32})$

Passaggio 8.4.3

Scomponi $8$ da $32$ .

$- (\frac{8 \cdot 5}{9} \cdot \frac{- 9}{8 \cdot 4})$

Passaggio 8.4.4

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{8 \cdot 5}{9} \cdot \frac{- 9}{8 \cdot 4})$

Passaggio 8.4.5

Riscrivi l'espressione.

$- (\frac{5}{9} \cdot \frac{- 9}{4})$

Passaggio 8.5

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Scomponi $9$ da $- 9$ .

$- (\frac{5}{9} \cdot \frac{9 (- 1)}{4})$

Passaggio 8.5.2

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{5}{9} \cdot \frac{9 \cdot - 1}{4})$

Passaggio 8.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- (5 (\frac{- 1}{4}))$

Passaggio 8.6

$5$ e $\frac{- 1}{4}$ .

$- \frac{5 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 8.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- \frac{- 5}{4}$

Passaggio 8.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{5}{4}$

Passaggio 8.8

Moltiplica $- - \frac{5}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{5}{4})$

Passaggio 8.8.2

Moltiplica $\frac{5}{4}$ per $1$ .

$\frac{5}{4}$